极坐标及参数方程题型及解题方法总结计划.docx

参数方程极坐标 Ⅰ复习提问 1 、 极坐标系和直角坐标系有什么区别？学校老师课堂如何讲解极坐标参数方程的？ 2 、 如何把极坐标系转化为直角坐标系？ 答：将极坐标的极点 O 作为直角坐标系的原点，将极坐标的极轴作为直角坐标系 x 轴的正半轴。如果点 P 在 直角坐标系下的坐标为（ x ， y），在极坐标系下的坐标为 ( , ) , 则有下列关系成立： 3 、 参数方程 x r cos 表示什么曲线？ y r sin 4 、 圆 (x-a)2+(y-b)2=r2 的参数方程是什么？ 5 、 极坐标系的定义是什么？ 答：取一个定点 O，称为极点，作一水平射线 Ox ，称为极轴，在 Ox 上规定单位长度，这样就组成了一个极坐 标系设 OP= ，又∠ xOP= . 和 的值确定了，则 P 点的位置就确定了。 叫做 P 点的极半径， 叫做 P 点的极角， ( , ) 叫做 P 点的极坐标（规定 写在前， 写在后）。显然，每一对实数 ( , ) 决定平面上一 个点的位置 6、参数方程的意义是什么？ Ⅱ 题型与方法归纳 极坐标与普通方程的互相转化 1、 题型与考点 （ 1） 极坐标与直角坐标的互相转化 参数方程与普通方程互化 2）参数方程与直角坐标方程互化 利用参数方程求值域 参数方程的几何意义 2、解题方法及步骤 1）、参数方程与普通方程的互化 化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式（三角 的或代数的）消去法；化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数 t ，先确定一个关系 x f t （或 y g (t) ，再代入普通方程 F x, y 0 ，求得另一关系 y g(t ) （或 x f t ）. 一般地，常 选择的参数有角、有向线段的数量、斜率，某一点的横坐标（或纵坐标） 例 1、方程 x 2t 2 t t为参数）表示的曲线是（ y t 2 （t ） 2 A. 双曲线 B. 双曲线的上支 C. 双曲线的下支 D. 圆 解析：注意到 2t t 与 2 t 互为倒数，故将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，即可消去含 t 的项， x 2 y 2 2 t 2 t 2 2 t 2 t 2 即有 y 2 x 2 4 ，又注意到 4， 20，22 t 2 2 2 t 2，即 y 2 ，可见与以上参数方程等价的普通方程为 y 2 x 2 （4 y 2） t t t . 显然 它表示焦点在 y 轴上，以原点为中心的双曲线的上支，选 B 练习 1、与普通方程 x2 y 1 0 等价的参数方程是（ ）（ t 为能数） 解析：所谓与方程 x2 y 1 0 等价，是指若把参数方程化为普通方程后不但形式一致而且 x, y 的变化范 围也对应相同，按照这一标准逐一验证即可破解 . 对于 A 化为普通方程为 x2 y 1 0， x 11，， y 01， ； 对于 B 化为普通方程为 x2 y 1 0， x R， y ( ，1] ； 对于 C 化为普通方程为 x2 y 1 0， x [0， )， y ( ，1] ; 对于 D 化为普通方程为 x2 y 1 0， x 11，， y 01， . 而已知方程为 x2 y 1 0， x R， y ( ，1]，显然与之等价的为 B. 练习 2、设 P 是椭圆 2x2 3y2 12 上的一个动点，则 x 2 y 的最大值是 ，最小值为 . 分析：注意到变量 x, y 的几何意义，故研究二元函数 x 2 y 的最值时，可转化为几何问题 . 若设 x 2 y t ，则方程 x 2 y t 表示一组直线，（对于 t 取不同的值，方程表示不同的直线），显然 x, y 既满 足 2x2 3y2 12 ，又满足 x 2y t ，故点 x, y 是方程组 2x2 3 y2 12 的公共解，依题意得直线与椭圆 x 2y t 总有公共点，从而转化为研究消无后的一元二次方程的判别式 0 问题 . 解析：令 x 2 y t ，对于 x, y 既满足 2x2 3y2 12 ，又满足 x 2y t ，故点 x, y 是方程组 2x2 3 y2 12 的公共解， 依题意得 11y2 8t y 2t 2 12 0 ，由 64t2 4 11 2t 2 12 0 ，解 x 2 y t 得： 22 t 22 ，所以 x 2y 的最大值为 22 ，最小值为 22 . （ 2）、极坐标与直角坐标的互化 利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，这二者互化的前提条件是（ 1）极点与原点 重合；（ 2）极轴与 x 轴正方向重合； （ 3）取相同的单位长度 . 设点 P 的直角坐标为