不等式恒成立问题的解法探析(高一不用导数).pdf

不等式恒成立问题的解法探析 不等式恒成立问题一般设计独特，涉及到函数、不等式、 方程等知识， 渗透着函数与方 程、等价转换、分类讨论、换元等思想方法，成为历年高考的一个热点．考生对于这类问题 感到难以寻求问题解决的切入点和突破口．这里对这一类问题的求解策略作一些探讨． 1 最值法 2 1 1 例 1．若不等式 x ax 3 0 对于 x [ , ] 恒成立，求 a 的取值范围． 2 2 训练 1.已知函数 f ( x) ln( x 2 ax 1) （a 为常数且 a R ） （1）若函数 f (x ) 的定义域为 R ，求实数 a 的取值范围 （2 ）若函数 f (x ) 的值域为 R ，求实数 a 的取值范围 1 1 （3 ）若函数 f (x ) 在 内有意义，求实数 a 的取值范围 , 2 2 2 分离参数法 例 2．解： （只考虑与本案有关的一种方法）解：对 x 进行分段讨论， 当 x 0时，不等式恒成立，所以，此时 a R ； 1 3 3 13 13 当 x (0, ] 时，不等式就化为 a x ，此时 x 的最小值为 ，所以 a ； 2 x x 2 2 1 3 3 13 13 当 x [ ,0) 时，不等式就化为 a x ，此时 x 的最大值为 ，所以 a ； 2 x x 2 2 由于对上面 x 的三个范围要求同时满足， 则所求的 a 的范围应该是上三个 a 的范围的交集即 13 13 区间 ( , ) 2 2 评注：不等式恒成立问题中，常常先将所求参数从不等式中分离出来，即：使参数和主元分别位于不等 式的左右两边，然后再巧妙构造函数，最后化归为最值法求解． x a 2 a 2 训练 2：已知函数 f (x) （a 为常数且 a R ） x 2 1 （1）判断 f (x) 的单调性并证明 2 （2 ）当 a 1时，对任意 x 1,1 ，不等式 f (x m 6) f ( 2mx) 0 恒成立， 求实数 m 的取值范围 1 3 数形结合法 例 3．已知当 x (1,2] 时，不等式 ( x 1) 2 log a x 恒 成立，则实数 a 的取值范围是＿＿＿． y 分析：本题若直接求解则比较繁难，但若在同一平面 2 直角坐标系内作出函数 f (x) (