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初中数学备课组
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教学内容:二次函数的解析式
知识要点
二次函数内涵丰富,变化多端,它有三种形式的解析式:一般式,配方式和分解式?本节要讨论的是:怎样根据 不同的已知条件解析式的选取 ;在不同的几何背景下怎样寻找确定解析式的条件 ;怎样根据二次函数的图像
特征确定解析式的系数特征
二次函数解析式的三种形式
1. 一般式:
2
y -ax2 bx ? c(a = 0),图像顶点坐标为(一卫,里兰 —),对称轴是直线x —
2a 4a 2a
2.顶点式:
2
y二a(x - m) - k(a = 0),图像顶点坐标为(-m,k),对称轴是直线x二-m
3.交点式:
y =a(x-xj(x-X2),图像与x轴的交点坐标是 A%,。),B(X2,0),对称轴是直线x= ?
例题精解
例1、如图,已知二次函数的图像与 x轴两交点之间的距离是 4个单位,且顶点M为(-1,4),求此二次函数的
解析式?
举一反三
根据已知条件,选择适当形式的解析式是求解二次函数解析式的关键
1、根据下列条件,分别求出函数的解析式
(1)已知二次函数的图像经过点 A(0,-1),B(1,0),C(-1,2)
已知抛物线的顶点为 (1,-3),且与y轴交于点(0,1)
已知抛物线经过 A(-3,0),B(5,0),C(0, -3)三点
2、求分别满足以下条件的二次函数的解析式
5
函数图像的对称轴是直线 x - 一2,与x轴的一个交点坐标是 (-5,0),与y轴的交点坐标是(0,)
3
5
函数图像经过(-1,1),(0,1)两点,且函数图像最高点的纵坐标为 -
4
顶点是抛物线中的特殊点,起到"一个顶俩”的作用?在下面的题目中,是否隐藏了顶点为已知点 ?
3、已知抛物线y =x2 ? bx ? c与x轴只有一个公共点 A(2,0),它与y轴的交点为B.
(1 )求b,c的值
如图,点M为线段AB的中点,求图像经过 O,M,A三点的二次函 数的解析式?
几何背景下的二次函数解析式
二次函数与直线经常出现在同一个坐标平面上
例题精解
例2、在坐标平面上,0为原点,已知点A(2,2),点B,C在y轴上,BC =8,AB = AC直线AB交x轴于点D.
求点C,D的坐标
求图像经过A,C,D三点的二次函数的解析式
举一反三
“三点确定一个二次函数的解析式”这句话对不对?
“三点确定一个二次函数的解析式”这句话对不对
?请看下面的问题
2-1 已知平面直角坐标系中两点 A(1,2)和B(0,3),点C在x轴上,线段AC的长是2.2
(1)求点C的坐标
(2)如果一个二次函数的图像经过 A,B,C三点,求这个二次函数的解析式
2-2 已知抛物线y =ax2,4ax ? t(a厂0)与x轴的一个交点为 A(-1,0)
(1)求抛物线与x轴的另一个交点 B的坐标
(2)设D是抛物线与y轴的交点,C是抛物线上一点,且以AB为一底的梯形 ABCD的面积为9,求此抛物线
的表达式.
在二次函数的图像中渗透三角比运算 ,是常见的代数与三角的综合问题 ?
2-3 如图,在直角坐标系xOy中,抛物线y二2ax^6ax 6与y轴的公共点为A,第一象限点B,C在此抛物
y线上,AB // x 轴,/AOB 二 COx,OC =2、一 5
y
求点A、B C的坐标
求抛物线的顶点坐标
三、解析式系数特征的确定 根据函数图象的特征来确定系数 一步解读。
例题精解
a、
a、b、c,以及由a、b、c组成的代数式的符号,是对二次函数解析式的进
例3、已知二次函数y二ax bx c(^-0)的图象如图所示,试确定一下各量的符号:
2
a, b, c, b「4ac, a b c, a「b c,2a b,2a「b
举一反三
要综合考虑,有时还要分类讨论。( )第一象限(B)第二象限(A)第三象限(D)第四象限(C)二次函数3-3y
要综合考虑,有时还要分类讨论。
( )
第一象限
(B)第二象限
(A)
第三象限
(D)第四象限
(C)
二次函数
3-3
y
2 2
二ax x a -1的图象可能是(
(D)
(1) 二次函数的解析式有三种形式:
(1) 一般式y = ax2 ? bx ? c (a = 0),其中有a, b, c三个系数
(2) 顶点式y =a(x - m)2 k(a -- 0),其中有a, m, k三个系数
(3) 交点式y =a(x-xj(x-x2)(a = 0),其中有a, Xi, X2三个系数
(2) 在特殊情况下,二次函数的解析式可采用简化形式 ,例如:
(1) 已知抛物线对称轴是 y轴(或顶点在y轴上),可设解析式为y = ax2 ? c
(2) 已知抛物线顶点在 x轴上,可设解析式为y=
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