高一数学第二章函数同步辅导讲义.docx

第二章函数同步辅导第一讲映射与函数 、辅导内容 映射、一一映射的定义和概念的理解 函数的定义、表示。 函数的三要素及函数的表达方法。 、重点、难点讲解 1 .映射、一一映射 f.其中集合A（1）集合A到集合B的映射有三个要素，即集合 A、 f.其中集合A 和集合是有先后顺序的，因为一般情况下 A到B的映射和B到A的映射是不同的映射.而对 于集合A和集合B的元素是什么，映射的定义未对此作具体要求， 它们的元素可以是数， 可 以是点，也可以是其他对象 （2） 一个对应要满足下面两个条件才能称为集合 A到集合B的映射：①集合A中的每一 个元素（一个不漏地）在集合 B中都有象（但集合 B中的每一个元素不一定都有原象）：② 集合A中的每一个元素在集合 B中的象只有唯一 的一个（集合B中的元素在集合 A中的原象 图1 图2 （3）对于上述映射，如果加上一个条件， 要求集合B中的每一个元素在集合 A中都有原 象，则这样的映射称为“集合 A到集合B上的映射”.如果在此基础上再加上一个条件，要 求集合B中的每一个元素在集合 A中的原象只有唯一的一个，则这样的映射称为集合 A 到集合B上的一一映射”. 例1 如图3,集合A={1、2、3、4、5} , B={a、b、C、d、e}.判断下列对应中，（1） 哪些是集合 A到集合B的映射；（2）哪些是集合A到集合B上的映射；（3）哪些是集合 A到 解(1)②和④是集合 A到集合B的映射，①中集合 A的元素3在集合中没有象；③中集合 集合B上的一一映射①②A B③ 集合B上的一一映射 ① ② A B ③ A的元素3在集合B中有两个象，它们都不是映射 ? (2［②是集合A到集合B上的映射.④中集合B的元素b在集合A中没有原象? (3［②是集合A到集合B上的一一映射. 例2 已知集合a={xO x 3}，B={yO y 1}.判断下列各对应f是否是集合a 到集合B的映射？ 一一映射？并说明理由 ? f : f : X 1 1 (1) y X ； (2) f : X y -x ； 3 4 (3) f : X y (x 2)2 ；⑷ f : X y 1 2 9X ； (5) f : X y 1 2 (X 1) 4 解 (1)T 0 x 3, ?0 ^x 1. 因此对集合A的每一个兀素X , 3 1 y x B,所以对应f ： A B是集合a到集合b的映射. 3 对于集合b中的每一个元素 y，由x 3y及0 y 1，有 0 3y 3,0 x 3.即集合B中的每一个元素在集合 a中都有原象，且这样的原象只有 一个，所以对应f:AB是一一映射(2)??? 一个，所以对应f:A B是一一映射 (2)??? 0x3, 3 4.所以对于集合A中的每一个元素x，在集合 B中都有唯一的象，因此对应 f : A B是映射. 而集合b中有些元素，如 y 1，在集合A中没有原象，因此映射 B不是 2x21 , ?- 0 (x 2)2 4.由此知集 B不是映射，更不是合A的某些元素，如 X 0，在集合B中没有象，因此对应 f : B不是映射，更不是 映射. (4)??? 0 x 3 , 1 2 …0 x 1 ?因此对于集合 A中的每一个元素 x，在集 9 合B中都有唯一的象，所以对应 f:A B是映射? 1 2 ― 由y x ,对于集合b中的每一个元素 y, x 3 y A，即集合b中的每一个 9 元素在集合A中有唯一的原象，因此映射 f ： A B是—映射. （5）集合A中的每一个元素在集合 B中都有唯一的象?对于集合A中的元素X 0和 1 x 2，都对应于集合B中的同一个元素 ，所以对应f : A B是映射，但不是一■ 一映 4 射? 2?函数 （1） 函数的定义? 在初中学过的函数概念是从运动变化的角度出发，用变量来定义的，习惯上称为传统 定义?传统定义由研究变量的物理意义而产生， 反映了两个变量之间变化的相依关系 ?由于受 变量物理意义的限制，对某些函数难以进行研究，因为有些函数从物理的角度不好解释 ?因 此高中学习函数时重新引进了用映射刻划函数的近代定义，它更具有一般性 ?当然，两种定 义的本质是一样的? 集合A到集合B的映射f : A B要成为函数，还必须满足两个条件：①集合 A、B 都是非空集合；②集合A、B都是数的集合?其中集合A就是函数的定义域， 而集合B不一定 是值域?一般地说，值域 C是集合B的子集，即C B ?（若集合C B，则这个映射就 成为集合A到集合B上的映射）? （2） 函数的三要素? 定义域A,值域C和定义域A到值域C的对应法则f ,构成了函数的三个要素?当且仅 当这三个要素完全相同时，两个函数才是同一个函数?在判断两个函数是否同一函数时， 主 要观察它们的定义域和对应法则是否相同 ? （3）