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培优点五导数的应用
1.利用导数判断单调性
例 1:求函数 f x x3 3x2 3x 3 e x 的单调区间
【答案】见解析
【解析】第一步:先确定定义域, f x 定义域为 R ,
第二步:求导: f ' x 3x2 6x 3 e x x3 3x2 3x 3 e x x3 9x e x
x
x x 3 x 3 e ,
x
第三步:令 f x 0 ,即 x x 3 x 3 e 0 ,
第四步:处理恒正恒负的因式,可得 x x 3 x 3 0 ,
第五步:求解 x 3,0 U 3, ,列出表格
2.函数的极值
例 2:求函数 f (x) xe x 的极值.
1
【答案】 f x 的极大值为 f 1 ,无极小值
e
【解析】 f ' x e x xe x 1 x e x
'
令 f x 0 解得: x 1, f x 的单调区间为:
1
f x 的极大值为 f 1 ,无极小值.
e
3.利用导数判断函数的最值
m
例 3:已知函数 f x ln x m R 在区间 1,e 上取得最小值 4,则 m ___________ .
x
【答案】 3e
1 m
【解析】 思路一:函数 f x 的定义域为 0, , f x 2 .
x x
1 m
当 f x 0 时, 2 0 ,
x x
当 m 0 时, f x 0 , f x 为增函数,所以 f (x)min f (1) m 4 , m 4 ,矛盾舍去;
当 m 0 时,若 x 0, m , f x 0 , f x 为减函数,若 x m, , f x 0 , f x
为增函数,
所以 f m ln m 1为极小值,也是最小值;
①当 m 1 ,即 1 m 0 时, f x 在 [1,e] 上单调递增,所以 f (x)min f (1) m 4 ,
所以 m 4 (矛盾);
m
②当 m e ,即 m e 时, f x 在 [1,e] 上单调递减, f x min f e 1 4 ,
e
所以 m 3e ;
③当 1 m e ,即 e m 1时, f x 在 [1,e] 上的最小值为 f m ln m 1 4 ,
3
此时 m e e (矛盾).
综上 m 3e .
' 1 m
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