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江苏省高校历届专科类高等数学竞赛试题 第五届（ 2000 年）专科类高等数学竞赛试题 一、填空题 （每小题 d 2 1．已知 f ( x ) 1 2． lim (tan x) ln x x 0 1 3． dx x x2 1  3 分，共 15 分） 1 ，则 f ( x) ． x ． ． ( 2) n 1 n 6n a ． 4．若级数 收敛，则 a 的取值为 n 1 6n n a f ( x)]sin xdx 5．[ f (x) ． a 二、选择题 （每小题 3 分，共 15 分） 1．函数 f ( x) e2 x 1 ）． x( x 的可去间断点为（ 1) A ． x 0, 1 B． x 1 C． x 0 D． 无可去间断点 2．设 f ( x) x2 sin 1 , g( x) sin x ，则当 x 0 时， f ( x) 是 g( x) 的（ ）． x A ．同阶无穷小但不等价 B．低阶无穷小 C．高阶无穷小 D．等价无穷小 3．设常数 k 0 ，函数 f ( x) ln x x k 在 (0, ) 内零点个数为（ ）． e A ． 3 B． 2 C． 1 D． 0 4．设 y f ( x) 对一切 x 满足 y 2y 4 y 0 ，若 f ( x0 ) 0 且 f ( x0 ) 0 ，则函数 f ( x) 在点 x0 （ ）． A ．取得极大值 B ．取得极大值 C．某个邻域内单调增加 D ．某个邻域内单调减少 5．过点 (2, 0, 3) 且与直线 x 2 y 4 z 7 0, 垂直的平面方程是（ ）． 3 x 5 y 2 z 1 0 A ． 16( x 2) 14 y 11( z 3) 0 B ． ( x 2) 2 y 4( z 3) 0 C． 3( x 2) 5 y 2( z 3) 0 D ． 16( x 2) 14 y 11( z 3) 0 三、（ 8 分）设 lim ln(1 x) (ax bx2 ) e dx ，求常数 a, b ． x 0 x 2 x(ln x) 2 x t(1 t ) 0, 2 四、（ 6 分）已知函数 y d y ． y(x) 由方程组 确定，求 tey y 1 0 dx 2 t 0 五、（ 6 分）设 f ( x), g( x) 在 [ a,b] 上连续，在 (a, b) 内可导，且对于 ( a, b) 内的一切 x 均有 f (x)g( x) f (x) g (x) 0 ，证明：若 f ( x) 在 (a, b) 内有两个零点，则介于这两个零点之 间， g(x) 至少有一个零点． 六、（ 6 分）设 f ( x) a1 sin x a2 sin 2x an sin nx ，其中 a1, a2 , , an 是实数，且 | f (x) | |sin x |，试证： | a1 2a2 nan | 1 七、（ 6 分）过抛物线 y x2 上一点 ( a, a2 ) 作切线，问 a 为何值时所作切线与抛物线 x2 4x 1 所围成的图形面积最小？ 八、（ 6 分）当 x 0 时， F (x) x t2 ) f (t)dt 的导数与 x2 为等价无穷小， ( x2 0 求 f (0) ． 九、（ 8 分）求级数 (2 n 1)x2n 1 的收敛域及和函数 . n 0 十、（ 8 分）将 f ( x) arctan 1 x 展为 x 的幂级数，并指明收敛域． 1 x x5 x 十一、（ 6 分）求 dx ． x8 1 十二、（ 8 分）设可微函数 f ( x) 在 x 0 上有定义，其反函数为 g( x) ，且满足 f ( x) 3 1 (x 2 8) ，试求 f ( x) ． g ( x)dxx 1 3 第六届（ 2002 年）专科类高等数学竞赛试题 一、填空题 （每小题 5 分，共 40 分） ln(1 x4 ) 1． lim ． 0 1 cos(1 cosx) 2．设 lim ex e x c (c 0) ，则 k ， c ． x 0 xk 3．设 f ( x) 在 [1, ) 上可导，下列结论中成立的是 ． A ．若 lim f ( x ) 0 ，则 f (x) 在 [1, ) 上有界 x B．若 lim f ( x ) 0 ，则 f (x) 在 [1, ) 上无界 x C．若 lim f ( x ) 1 ，则 f ( x) 在 [1, ) 上无界 x 4．设 x ln(1 t 2 ), y t arctan t ，则 d 2 y ． dx2 5．设由 e y x( y x) 1 x 确定 y y ( x ) ，则 y (0) ． 6． (arcsin x arc