工程力学 工程力学 任务8.2 如何绘制剪力图和弯矩图.docx

任务二 如何绘制剪力图和弯矩图 ? 知识点 ◇ 剪力方程和弯矩方程 ◇ 剪力图和弯矩图的绘制方法 ? 技能点 ◇ 能够根据剪力方程和弯矩方程作出剪力图和弯矩图 ◇ 了解外载荷和剪力、弯矩之间的关系，并能够根据此关系判断内力图是否正确 ? 任务分析 一般情形下，梁横截面上的剪力和弯矩是随横截面位置的变化而变化的。将横截面沿梁轴线的位置用坐标x表示，则各个横截面上的剪力和弯矩可以表示为坐标x的函数，即 FQ＝FQ(x) M＝M(x) 这两个函数表达式分别称为剪力方程和弯矩方程。为了能形象的表明剪力和弯矩随梁轴线变化的情况，以x为横坐标轴，以FQ或M为纵坐标轴，根据剪力方程和弯矩方程作出剪力和弯矩随截面位置变化的关系曲线，这种图线称为梁的剪力图和弯矩图。本任务将学习剪力图和弯矩图的绘制方法。 ? 任务实施 例8-3 如图8-7(a)所示，简支梁受均布载荷q作用。试写出该梁的剪力方程和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。 2 2 图 8-7 解 (1) 求约束力。 由于梁的结构及受力的对称性，支座A与支座B的约束力相同，如图8-7(b)。由平衡条件可求得 (2) 建立剪力方程和弯矩方程。 作用在梁上的外力没有突然变化，故梁全长上的剪力或弯矩都可以用一个方程表示。 以A点为原点建立坐标轴。在任意长度x截面处将梁截开，取左段为研究对象。在截开的截面上标出正方向的FQ和M，如图8-7(c)所示。由梁左段的平衡条件得剪力方程为 （0＜x＜l） 对所截截面的形心C点取矩，得弯矩方程为 （0≤x≤l） (3) 画剪力图和弯矩图。 由剪力方程可知，剪力FQ(x)是坐标x的一次函数，其图形为一斜直线，只需确定直线上两点即可画出剪力图。由剪力方程求出A偏右截面（x=0）和B偏左截面（x=l）处的剪力。建立FQ-x坐标系，并在其中标出A、B两点的剪力值，用直线将两点连接即得到剪力图，如图8-7(d)所示。由图可知，最大剪力发生在梁的两个支座截面上。 弯矩M(x)为x的二次函数，因此弯矩图为抛物线。可将弯矩方程整理为 显然，弯矩图是一条二次抛物线，开口向下，梁的中点为最高点。实际上，因为梁的结构与受力都是对称的，所以抛物线的顶点一定在梁的中点；在梁的两个支座截面上弯矩取得0值。建立M(x)-x坐标系，标出A，B及梁的中点弯矩值，用光滑曲线将其连接可得弯矩图，如图8-7(e)所示。标注时必须标注最高点数值。 由剪力图和弯矩图可见，在均布载荷作用区段内，剪力图为一条斜线，斜线倾斜的方向和均布力的方向一致；弯矩图为抛物线，抛物线的开口方向和均布力的方向一致。 例8-4 如图8-8(a)所示，简支梁AB受一集中力F=12kN，写出此梁的剪力方程和弯矩方程，并画剪力图和弯矩图。 解 (1) 求A，B处的约束力。 AB梁的受力图如图8-8(b)所示。对B点取矩，列平衡方程有 解得： 由得 (2) 建立剪力方程和弯矩方程。 在C截面上作用有集中力F，故应在C截面分段，分为AC和BC两段分别建立剪力和弯矩方程。 AC段：从坐标为x1的截面处将梁截开，取左段为研究对象，标出剪力和弯矩，如图8-8（c）所示。由平衡条件得 CB段：从坐标为x2的截面处将梁截开，取左段为研究对象，如图8-8(d)所示。由平衡条件得 图 8-8 (3) 画剪力图和弯矩图。 由剪力方程可知，AC段和CB段剪力均为常量，即剪力图为平行于x轴的直线。AC段和CB段的剪力值分别为4kN和-8kN，由此可在FQ-x坐标系中画出剪力图，如图8-8(e)所示。 弯矩方程为一次方程，即弯矩图为斜线。分别确定两条斜线的起点和终点，绘制弯矩图如图8-8(f)所示。 由剪力图和弯矩图可见，在集中力作用截面处，剪力值发生突变，突变的大小等于集中力的大小；弯矩图会发生转折，转折的方向和集中力的方向一致。 例8-5 如图8-9（a）所示，简支梁AB上作用一个集中力偶。写出此梁的剪力方程和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。 图 8-9 解 (1) 求支座反力。 由静力学平衡条件可求得 (2) 建立剪力方程和弯矩方程。 梁的C截面上作用有集中力偶，故截面C为分段点，应分两段建立剪力和弯矩方程。 AC段： 由截面法可求得剪力方程和弯矩方程分别为 (0＜x1≤a) (0≤x1＜a) CB段：剪力方程和弯矩方程分别为 (3) 画剪力图和弯矩图。由AC和CB的剪力方程可知，剪力相等且为常量，故其图形为一水平直线， 如图8-9（b）所示。 由弯矩方程可知，弯矩是x的一次函数，其图形为斜直线。求出各分段点的弯矩分别为 AC段： CB段：