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2013 年全国高中数学联赛广东省赛区预赛试题及答案
一、填空题(每小题 8 分,满分 64 分)
2 2
1、已知 sin cos ,cos sin 2 ,则 sin cos _______.
3
解: 0 或
.
2
2 2 1
已知两式平方相加,得 sin 0 或 cos .
4
2 2 2 3
sin cos 2sin 0 或 .
2
6 3 2
2、不等式 x (x 2) (x 2) x 的解集为 _________.
解: ( , 1) (2, ).
6 2 3
原不等式等价于 x x (x 2) (x 2).
3
设 f (x) x x ,则 f (x) 在 R 上单调增 .
2 2
所以,原不等式等价于 f (x ) f (x 2) x x 2 x 1或 x 2.
1
3、已知 ( 表示不超 过 x 的最大整数 ),设方程 2012 x { x} 的两
2013
2
个不同实数解为 x , x ,则 2013 (x x ) __________.
1 2 1 2
解: 2011.
1 1 1
由于 { x} [0,1), (0,1) ,所以 2012 x ( 1,1) x .
2013 2012 2012
1 1 2
当 x 0 时,原方程即 2012 x 1 x 2013 x 2012 ;
1
2012 2013
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