7二项式定理 中等难度 讲义 2.doc

二项式定理 引入 上图是什么啊？有什么规律吗？ 解读 、二项式定理1）二项式定理1（ n?? ??ba 这个公式表示的定理叫做二项式定理．）二项式系数、二项式的通项2（ n??n212n?2nn01n?bC?...?bCCa?ab?Ca的二项展开式，其中的系数叫做b?annnn??rn2,...,0,1,Cr?rrrn?CbaT表示，用叫做二项展开式的通项，叫做二项式系数，式中的n1?rn ?T ． 项：即通项为展开式的第1?r1r? ）二项式展开式的各项幂指数（3 n?? 项，各项的幂指数状况是的展开式项数为二项式ba? ①各项的次数都等于二项式的幂指数．n ②字母的按降幂排列，从第一项开始，次数由逐项减1直到零，字母按升幂排列，从bna第一项起，次数由零逐项增1直到． n（4）几点注意 n?? rrn?rbT?Ca ①通项是．项，这里的展开式的第n...,?0,1,2,rb?an1r? nn????r?rrnabC是有区别的，项的项和②二项式应用二项式的展开式的第1?1?rra?b?banb是不能随便交换的．和 定理时，其中的arC）与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而③注意二项式系数（n项的系数有时可为负． nn????的二项展开式的通项公式是这个标准形式下而言的，如④通项公式是ba?a?br??rrrn?rrrn?CTab?b?b这与代入二项式定理）是不同的，在这看成（只须把ba?1T?Cnr?1n?1rr??rrrCC可看出，一个是，但项的系数一个是，，里对应项的二项式系数是相等的都是C?1nnn二项式系数与项的系数是不同的概念． n?? ．⑤设，则得公式：xba?1,???x1 ??rnr?rn2,...,r?0,1,Cab?Tn,r,Ta,b,⑥通项是五个元素，只要知道其中四中含有1r?r?1n个即可求第五个元素． n x)x(1?的近似值．比较小时可以用展开式的前几项求不是很大， ⑦当n2．二项式系数的性质 （1）杨辉三角形：对于是较小的正整数时，可以直接写出各项系数而不去套用二项式定n理，二项式系数也可以直接用杨辉三角计算． 杨辉三角有如下规律：“左、右两边斜行各数都是1．其余各数都等于它肩上两个数字的和．” n??n012CC,...,C,C,，从函数的角展开式的二项式系数是：（2）二项式系数的性质：b?annnn????rn2,f1,r3,...,0,rC．，其定义域是：度看可以看成是为自变量的函数 n??rf6n? 的图象为下图：时，当． ??rf6?n的图象的直观来帮助我们研究二项式系数的时这样我们利用“杨辉三角”和 性质． 的两个二项式系数相等．等距离”①对称性：与首末两端“m?mnCC? 事实上，这一性质可直接由公式得到．nn ②增减性与最大值 如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大； 如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大． 由于展开式各项的二项式系数顺次是??1nn?n ，?C1,C?,C? 21?1????2?1?nnn ．，，．．?C 32?1???????????????1?kk?1n?2n?2?...nnnn?1nn?2...?n?k?2k1k? ，．，．，．?CC? ????nnk1k?3...1??1?23?....??k12??n1?C ．n的数（如1其中，后一个二项式系数的分子是前一个二项式系数的分子乘以逐次减小．因为，一个自然数乘以一…）2，3，），分母是乘以逐次增大的数（如1，...2,n?n,n?1,k等值时，…，3，的数则变小，从而当2依次取1，而乘以一个小于个大于1的数则变大，1rC的两项的式系数相等，所以二”的值转化为不递增而递减了．又因为与首末两端“等距离n 项式系数增大到某一项时就逐渐减小，且二项式系数最大的项必在中间．1?1nn?项，所以展开式有中间一项，并且这一是偶数时，是奇数，展开式共有当nn C ．项的二项式系数最大，最大为2n1?1nn?项，所以有中间两项。这两项的二项式是偶数，展开式共有当是奇数时，n1??n1n CC? 系数相等并且最大，最大为．22nnnrn012CC?2??C...??C?C?...，即． ③二项式系数的和为2nnnnn ④奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即 024135n?12?C?C?...C?C?C?...?C?． nnnnnn常见题型有：求展开式的某些特定项、项数、系数，二项式定理的逆用，赋值用，简单的组合数式问题． 探究 1、提出问题： n222， 的展开式。如那引入：