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福建省厦门市2020届高三线上质量检查数学试题(理)
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.若复数(为虚数单位)是纯虚数,则实数的值为( )
A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
【答案】D
【解析】依题意,为纯虚数,故,解得.
故选:D.
2.已知集合,,则( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由得,由于,所以.由,解得或,所以.所以.
故选:B.
3.随机变量,若,,则( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】由于随机变量,满足,,
,根据正态分布的对称性可知.
故选:C.
4.直线过抛物线:()的焦点,且与交于,两点,,若的中点到轴的距离为1,则的值是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】
根据抛物线中,过焦点的弦长公式列方程,由此求得的值.
【详解】设,由于的中点到轴的距离为,所以.根据抛物线中过焦点的弦长公式得,即.
故选:B
【点睛】本小题主要考查抛物线中过焦点的弦长公式,属于基础题.
5.斐波那契数列0,1,1,2,3,5,8,13,…是意大利数学家列昂纳多.斐波那契发明的.如图是一个与斐波那契数列有关的程序框图.若输出的值为88,则判断框中应该填入( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
运行程序,根据输出的的值为,判断出正确选项.
【详解】运行程序,,,,判断否,,,判断否,,判断否,,判断否,,判断是,输出.故应填
故选:C
【点睛】本小题主要考查根据循环结构程序框图输出结果填写条件,属于基础题.
6.若两个非零向量,满足,则向量与的夹角为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据条件利用平方法得到向量数量积的数值,结合向量数量积与夹角之间的关系进行求解即可.
【详解】∵非零向量,满足,
∴平方得,即 ,
则,由,
平方得得,即则,
则向量与的夹角的余弦值 , ,
故选D.
7.已知两条直线,,两个平面,,,,则下列正确的是( )
A. 若,则 B. 若,则
C. 若,则 D. 若,则
【答案】A
【解析】对于A选项,当时,画出图象如下图所示,由图可知,,故A选项正确.
对于B选项,当时,可能,如下图所示,所以B选项错误.
对于CD选项,当时,可能,如下图所示,所以CD选项错误.
故选:A
8.记数列的前项和为,,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】依题意,
当时,,解得;
当时,由得,两式相减并化简得.
故数列是首项为,公比为的等比数列,所以.
所以.
故选:B
9.函数的定义域为,其导函数为,,且为偶函数,则( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由于为偶函数,所以函数关于对称.由于,所以当时,递减,当时,,递增.所以.
故选:A
10.在三棱锥中,,,,,分别是棱,的中点,以下三个结论:①;②平面;③与一定不垂直,其中正确结论的序号是( )
A. ② B. ①② C. ②③ D. ①②③
【答案】B
【解析】对于①,设是的中点,连接,由于,,所以,所以平面,所以,故①正确.
对于②,由于,分别是棱,的中点,所以,所以平面,故②正确.
对于③,当时,由于,所以平面,所以,故③错误.
综上所述,正确的为①②.
故选:B
11.已知双曲线的左、右焦点分别为,,过作平行于的渐近线的直线交于点.若,则的离心率为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】取双曲线的渐近线为,因为,,
所以过作平行于渐近线的直线的方程为,
因为,所以直线的方程为,
联立方程组可得点的坐标为,因为点在双曲线上,
所以,即,
因为,所以,整理得,因为,所以.故选D.
12.定义.若函数,数列满足(),若是等差数列,则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由于定义,而函数,由解得或,画出的图像如下图所示,
由图可知.
由于数列满足(),且是等差数列.当时,,,……,推辞类推,数列 是首项为,公差为的等差数列,符合题意.
当时,,要使是公差为的等差数列,则需,解得或不符合.由,解得或.则当时,为常数列;当时,为常数列.此时为等差数列.
当时,由于,故不能构成公差为的等差数列,也不是常数列,不符合题意.
综上所述,的取值范围是
故选:C
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13.记等差数列的前项和为,若,则______.
【答案】27
【解析】由于数列是等差数列,则.
故答案为:
14.将2名教师,6名学生分成2个小组,分别安排到甲、
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