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学节教环新课引入学生活动现实模型:模型 直观 用实际 生活引 入新
学节教环
新课引入
学生活动
现实模型:
模型 直观 用实际 生活引 入新
“等差数列的前n项和”教案
教师活动
创设情境:首先让学生欣赏一幅美丽的图片
——泰姬陵。泰姬陵是印度著名的旅游景 点,传说中陵寝中有一个三角形的图案嵌有 大小相同的宝石,共有100层,同时提出第 一个问题:你能计算出这个图案一共花了多 少颗宝石吗?也即计算1+2+3+…..+100=?
问题2:何老师按揭买房,向银行贷款25万
元,采取等额本金的还款方式,即每月还款
图片欣赏
生活实例
学生:1+100=101
学生:1+100=101, 2+99=101,…..50+51=101, 所以原式=50 ( 1+101)
=5050
学生:将首末两项配对,第
高斯求 和众所 周知,
学生能
额比上月减少一定的数额。2007年1 月, 我第一次向银行还款2348元,以后每月比 上月的还款额减少5元,若以2007年1月 银行贷款利率为基准利率,那么到2026年
12月最后一次还款为止,何老师连本带利 一共还款多少万元?
首先认识一位伟大的数学家一一高斯, 然后提出冋题:咼斯是如何快速计算1+2+3
+4+…..+100?
设等差数列{an}前n项和为Sn,则
Sn =a1 - ■ an J an
问题1
二项与倒数第二项配对,以
老师:利用高斯算法如何求等差数列的前 n
此类推,每一对的和都相
项和公式?
老师:但是否刚好配对成功呢?
等,并且都等于a「an
(1) n为偶数时:
Sn = a「 an
2
an -1
2
学生:不一定,需要对n取 值的奇偶进行讨论。
当n为偶数时刚好配 对成功。
快速解
答。
这里 用到了 等差数 等差数 列脚标 和性质
从高 斯算法 出发, 对n进
(2) n为奇数时:
当n为奇数时,中间的 一项am落单了。
一 2
行讨论 寻找求 和公式 思路自 然,学 生容易 想到。
对中 间项
老师:那么该如何解决落单的an 1呢?
n ~
Sn = —怜)怜申
n 1
"2
(可能部分学生在此会遇 到困难,老师做适当的引 导。)
an -1
2的
2
an 1 a n 1
n -1 2 2
〒佝+an)十——2— n
=2 (a1 an)
同过对n取值的讨论,得到了前 项和求和公式:S^ n(a1 an)
但是对n讨论麻烦了,能否有更好的 方法求前n项和公式呢?接下来给出实际 问题:伐木工人是如何快速计算堆放在木场 的木头根数呢?
问题2:如何用倒置的思想求等差数列前 n 项和呢?
方法一:
学生:观察a「1的脚标与
2
a1 an脚标的关系,即:an1 an 4
2 2
2
an 1
2
a「an
2
学生观察动画演示,不 难发现用倒置的思想来解 决此问题。
解决办 法的过 程中, 进一步 让学生 体会研 究数列 就是对 脚标数 学的研 究。
探
索
公
式
Sn 二印 a? an_1 an
I ▼ T t
Sn 二 an an「 a?
两式相加得:2Sn = n(a「an)
Sn = ;(a「an)
方法二 2
同样利用倒序相加求和法,教材做了如 下处理:
Sn二印佝d)…⑻(n-1)d]
I I 1
Sn = an (a. - d) ... [a. -(n - 1)d
2Sn 二 n(a「an )
(由上一问题的解决,学生 容易想到倒序相加求和 法。)
学生:利用倒序相加求和 法。
将Sn中的每一项用等
差数列的通项公式进行巧 妙的改写,在倒序相加求和 时,每一组中的d都被正负 抵消了。
倒序相 加求和 法是重 要的数 学思 想,为 以后数 列求和 的学习 做好了 铺垫。
在等差 数列前 n项和 公式的 推导过 程中, 通过问 题获得
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两式相加得:
例1:计算
学生类比方法一与方法 的联系与区别。
知识, 让学生 经历
“发现 冋题一 —提出 冋题一 —解决 问题” 的过程
议
练
活
动
1+2+3+…+n
1+3+5+…+(2 n-1)
2+4+6+…+2n
1-2+3-4+5-6+ …+(2 n-1)-2 n
教师通过动画演示给(1),(2)问一个直观 的解释。
变式练习:课前提出的房贷问题。
解:由已知每月还款数成等差数列,设为
=2348,d - 5, n =n(n 1)
240
& 二 na1
二 240 2348
二 420120(元)
240 239
2
(一5)
问题3:能否给求和公式一个几何解释呢?教师提示将求和公式与梯形建立联系。
学生自己阅读教材,体 会教材的解法是如何运用 求和公式。
观察多媒体课件演示。
学生:要求总还款额实际就 是对一个等差数列求和。
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