计算方法之计算矩阵的特征值和特征量[宣贯].pptVIP

或者用各个分量比的平均值作为最大特征值： （4）求?1所对应的特征向量： 由： 可得： 而： 故： 则V(k)即为所求对应?1的特征向量。 * 例 用幂法求下面 的按模最大特征 值及对应的特征向量。 （1）即初始非零向量V(0) （2）作迭代计算V(k+1)= AV(k)： * 最大特征值的计算： 特征向量：V(11) * 设n 阶方阵A有 n 个线性无关的特征向量 Xi ，其对应的特征值为?i （i=1,2,...,n)，且满足： |?1| = |?2|>|?3| ? … ? |?n|，设其中?1>0, ?1=- ?2 （二）按模最大特征值是互为反号的实根 由迭代变换： * 迭代计算中V(k)呈规律性摆动，当k充分大时有 则有： 同理： （k充分大时） 再由： 可得： 取 * ★规范化幂法运算 由 （1）当|?1|>1时，V(k)与V(k+1)的各个不等于0的分量将随k的增大而过快地增大，而可能“溢出”； （2）当|?1|<1时， V(k)与V(k+1)的各个分量将随k的增大而过快地减小而趋于0； 上述两种情况都会导致计算结果不准确。 * 解决措施：在计算V(k+1)之前，先将V(k)规范化，具体操作如下： （1）取U(0)=V(0)=?1X1+ ?2X2+...+ ?nXn（非零向量），计算V(1) ： V(1)=AU(0)=AV(0) （2）取U(1)： 即用V(1)中绝对值最大的分量去除V(1)中的所有分量。 其次计算V(2) ： * （3）取U(2) ： 即用V(2)中绝对值最大的分量去除V(2)中的所有分量。其次计算V(3) ： ……………………………… （k+1）取U(k) ： * 即用V(k)中绝对值最大的分量去除V(k)中的所有分量。其次计算V(k+1) ： 计算过程总结如下: * 由 ◆规范化幂法运算中的几种情况 （一）按模最大特征值?1是单实根，且?1>0 此时迭代向量序列{ V(k) }将正常收敛。 * 由向量知识：X1是对应?1的特征向量，那么 也是对应?1的特征向量。 即可用 U(k) 作为所求对应于 ?1 的特征向量。 由 那么： * 即：当k充分大时可用V(k+1)中的最大分量作为所求最大特征值?1 例 用规范化幂法计算右面矩阵的按模最大特征值及对应的特征向量 * 解：取初始向量V(0)=U(0)=(1,1,1)T，结果如下： k V(k) U(k) max(V(k)) 0 1 1 1 1 1 1 1 274 95 -184 1 0.34672 -0.67153 2 44.42377 14.84322 -29.64262 1 0.33413 -0.66727 44.42377 3 44.92333 14.97623 -29.95048 1 0.33337 -0.66670 44.92333 4 44.99572 14.99865 -29.99722 1 0.33334 -0.66667 44.99572 5 44.99959 14.99988 -29.99974 1 0.33333 -0.66667 44.99959 6 44.99953 14.99983 -29.99968 1 0.33333 -0.66667 44.99953 7 44.99953 14.99983 -29.99968 1 0.33333 -0.66667 44.99953 由表可知，最大特征值为： ?1=44.99953 对应特征向量为：( 1 , 0.33333 , -0.66667 )T * 此种情形下，按模最大特征值为 （二）按模最大特征值?1是单实根，但?1<0 此时迭代向量序列{V(2k)}和{V(2k+1)}将分别收敛于互为反号的向量。 当k充分大时， 的符号会交替变号。 而对应于?1的特征向量仍为U(k) 。 * |?1| = |?2|>|?3| ? … ? |?n|，设其中?1>0, ?1=-?2 （三）按模最大特征值是互为反号的实根，即 此时迭代向量序列{V(2k)}和{V(2k+1)}将分别收敛于两个互不相同的向量。 当规范化运算到k充分大时停止，再作一次非规范化运算： 则按模最大特征值： 而特征向量仍为： * 验证：当k充分大时 * 故有： * ☆规范化幂法算法描述（?1是单实根，且?1>0） 一、数据说明 a[n][n] — 存放方阵A中各元素； V0[n] — 表示迭代式中的V(k); V1[n] — 表示迭代式中的V(k+1); U[n] — 规范化向量 lamda — 按模最大特征值 EPS — 精度控制量 二、操作步骤 Step1 输入