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6-空间解析几何 第六章 空间解析几何与向量代数 本章的主要内容是向量和空间图形的方程表示. 要求熟练掌握向量的各 种运算并理解其几何意义；熟练掌握常用的曲面方程.这些内容都是学习 多元微积分的前提.在学习的过程中，读者应多做一些画图练习，以培养 自己的空间想象力. 一、向量代数 .具有大小和方向的量称为 向量,只有大小的量称为 数量(实数).向 量可以用有向线段 AB来表示. .向量 的长度称为向量的 模，记为丨丨；模为1的向量称为 单位 向量；长度为零的向量称为 零向量，记为0 .两个向量的夹角 ，规定 0 . .与x、y、z三个坐标轴同方向的单位向量分别记为 i、j、k , 称为基本单位向量. .非零向量a分别与x、y、z三个坐标轴正向的夹角 ，，称为a 的方向角；cos ,cos ,cos 称为a的方向余弦. 5 .若 分别在x、y、z三个坐标轴上的投影为a,b,c ,则 ai bj ck，记为｛a, b,c｝，称为向量 的坐标；对于给定的点 Mi(Xi, yi，zj、M2(x2, y2,z2)，则 M1M2 区 xji (y2 yi)j 亿 zjk ｛x? x^y? 目｝ ．向量的线性运算 给定向量 、 及数量 ，可定义向量的加法 及数量乘法 统称为向量的 线性运算 ，满足运算律： 1 )加法交换律 2 )加法结合律 ( ) 3 )数量乘法结合律 ( ) (4 3 )数量乘法结合律 ( ) ( 4 )数量乘法对于数量加法的分配律 )数量乘法对于向量加法的分配律 ) ( ) ，其中 与 是数量； () () | | | |cos | | | |cos ，其中 给定向量 与 ，它们的数量积定义为 是 与 的夹角． 数量积满足下列运算律： 1 )交换律 ? ? ； 2)结合律 ( ? ) ( )? ?( ) ，其中 是数量； 3 )分配律 ( )? ? ? ； ．向量的向量积 给定两个向量 和 ，它们的 向量积 定义为一个向量， 记为 ，满 足： i)I I I II Isin ，其中 是与的夹角； ii) 的方向垂直于 与 所在的平面，并且与 、 符合右手 法则. 向量积满足卜列运算律 i ) 反交换律 ( ); 2) 结合律 ( ) () ()，其中 是数量； 3) 左分配律 ( ) 右分配律( ) 9 . 向量及其坐标的有关公式 给定向量 { ai, a2, a3}, {bi, b2,b3}及数量 ，则 i) { ai , a2 , a3}, { ai bi , a2 b2, a3 b3} 2) ? | || | cos aibi a2b2 asb?，其中 是两个向量的夹 bi b2 b bi b2 bs ? 5) 与垂直的充分必要条件是 0，即 aibi a2b2 a3b3 0 cos ? ai bi a2b2 a3 b3 I I I I Ja 2 7 2 a； J bi2 b； b； i j k a2 a3 ai a3 ai a2 k i j ai a2 a3 b2 b3 bi b3 bi b2 bi b2 b3 平行的充要条件是它们 对应的坐标成比例 其中6 )若 {ai, a2, a 其中 6 )若 {ai, a2, as} 0，则 同方向的单位向量.并有 ai 1 |―|称为单位化向量，它表示 I 0 .此时 {cos , cos , cos } cos ,cos ,cos 是 的方向余弦. .空间中的曲面与曲线 i.给定曲面s及三元方程F (x, y, z).如果曲面S上的点的坐标都满足方程；反之，方程的解所对应的点都在 i.给定曲面s及三元方程F (x, y, z) .如果曲面S上的点的坐 标都满足方程；反之，方程的解所对应的点都在 F (x, y, z) 0所表示的曲面. S上，则称S为方程 两个方程 Fi(x, y,z) 0 和 F2(x,y,z) 0表示同一个曲面的充分必 要条件是它们为同解方程. 2 .空间中的曲线 C可以看作两个曲面的交线，它的 一般方程为 F(x,y,z) 0 G(x,y,z) 0 - 空间曲线c也可表示为 参数方程 x(t) y(t) , a t b . z(t) 3 .旋转面方程 一条平面曲线C绕它所在平面的一条直线 L旋转一周所生成的曲面称 为旋转曲面(旋转面).曲线C称为旋转曲面的 母线，直线L称为旋转曲 面的旋转轴. yoz 平面上的曲线C yoz 平面上的曲线C : f(y,z) 0 x 0 绕z轴的旋转面方程为 f(y f(y, i x2 z2) 0 .类似 f ( \ x2 y2 , z) 0 ;绕y轴的旋转面方程为 可得其它坐标面上的曲线绕坐标轴的旋转面方程. 4 .柱面方程 平行于定直线L并沿定曲线C移动的直线 丨所生成的曲面称为 柱面， 动直线