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“双勾函数”的性质及应用
问题引入 :求函数 y
x2
5
的最小值.
x2
4
问题分析 :将问题采用分离常数法处理得,
y
x2
4
1
x2
4
1
,此时
x2
4
x2
4
如 果 利 用 均 值 不 等 式 , 即 y
x2
4
1
≥2,等式成立的条件为
x2
4
x2
4
1
,而
x2
4
1
显然无实数解,所以
“ ”不成立,因而最小值
x2
4
x2
4
不是 2 ,遇到这种问题应如何处理呢?这种形式的函数又具有何特征呢?是否与我们所熟知的函数具有相似的性质呢 ?带着种种疑问,我们来探究一下这种特殊类型函数的相关性质.
一、利用“二次函数”的性质研究“双勾函数”的性质
1.“双勾函数”的定义
我们把形如 f (x)
k
( k 为常数, k
0 )的函数称为“双勾函数”
.因为函数
x
k
x
f ( x)
x
0 )在第一象限的图像如“√”
,而该函数为奇函数,其图
( k 为常数, k
x
像关于原点成中心对称,故此而得名.
2.类比“二次函数”与“双勾函数”的图像
y
a
0
y
y x
k (k
0)
x
y
x
x
b
2a
k
b
O
x
x
x
O
k
2a
a 0
二次函数图像 “双勾函数”图像
3.类比“二次函数”的性质探究“双勾函数”的性质
( 1)“二次函数”的性质
①当 a 0 时,在对称轴的左侧, y 随着 x 的增大而减小;在对称轴的右侧, y 随着 x
的增大而增大;当
x
b
时,函数
4ac
b
2
.
2a
y 有最小值
4a
②当 a 0 时,在对称轴的左侧,
y 随着 x 的增大而增大;在对称轴的右侧,
y 随着 x
的增大而减小.当
x
b
时,函数
y 有最大值 4ac
b
2
.
2a 4a
( 2)“双勾函数”性质的探究
①当 x 0 时,在 x k 左侧, y 随着 x 的增大而减小;在 x k 的右侧, y 随着 x
的增大而增大;当 x k 时,函数 y 有最小值 2 k .
②当 x 0 时,在 x k 的左侧, y 随着 x 的增大而增大; 在 x k 的右侧, y 随
着 x 的增大而减小.当 x k 时,函数 y 有最大值 2 k .
综上知,函数 f (x) 在 ( , k ] 和 [ k , ) 上单调递增,在 [ k ,0) 和 (0, k ] 上单
调递减.
下面对“双勾函数”的性质作一证明.
证明 :定义法.设
x , x
R ,且 x
x ,则
1
2
1
2
f ( x1 )
f ( x2 )
x1
a
x2
k
(x1
x2 )( x1x2
k)
( x1 x2 )(1
k
) .
x1
x2
x1 x2
x1x2
以下我们怎样找到增减区间的分界点呢?
首先 x
0 ,∴ x
0 就是一个分界点,另外我们用
“相等分界法 ”,令 x1
x2 x0 ,
k
0
可得到 x
k ,因此又找到两个分界点
k ,
k .这样就把 f ( x) 的定义域
1
2
x0
分为 (
,
k ] , [
k ,0) , (0,
k ] , [
k ,
) 四个区间,再讨论它的单调性.
设 0 x x
2
k ,则 x1
x2
0 , x1 x2
0, 0
x1 x2 k ,
1
x1 x2 k 0 .
k
k
(x1
x2 )( x1 x2
k)
,即 f (x )
f ( x ) .
∴ f ( x1 ) f ( x2 ) x1
x2
0
x1
x2
x1 x2
1
2
∴ f ( x) 在 (0,
k ] 上单调递减.
同理可得, f (x) 在 [ k , ) 上单调递增;在 ( , k ] 上单调递增;在 [ k ,0) 上
单调递减.
故函数 f ( x) 在 ( , k ] 和 [ k , ) 上单调递增,在 [ k ,0) 和 (0, k ] 上单调递
减.
性质启发 :由函数 f ( x) x k (k 0) 的单调性及 f (x) 在其单调区间的端点处取值的
x
趋势,可作出函数 y
f ( x) 的图像,反过来利用图像可形象地记忆该函数的单调性及有关
性质. 此性质是求解函数最值的强有力工具,
特别是利用均值不等式而等号不成立时,
更彰
显其单调性的强大功能.
4.“二次函数”与“双勾函数”在处理区间最值问题上的类比
( 1)“二次函数”的区间最值
设
f (x)
ax
2
bx c(a ) ,求
在
,
上的最大值与最小值.
0
f ( x) x
[ m
n]
分析 :将 f ( x) 配方,得对称轴方程
x
b
,
①当 a
0时,抛物线开口向上.
2a
若
b
[m, n] 必在顶点取得最小值,离
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