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初三数学《相似三角形》知识提纲
( 孟老师归纳 )
一:比例的性 及平行 分 段成比例定理
(一)相关概念:
1. 两条 段的比: 两条 段的比就是两条 段 度的比
a
m
a,b 的 度分
m,n,那么就 两条 段
在同一 度 位下两条 段
b
n
a: b=m: n;
其中 a 叫做比的前 , b 叫做比的后
的比是,或写成
2:比例尺 =
上距离/ 距离
3:成比例 段: 在四条 段 a,b,c,d 中,如果其中两条 段的比等于另外两条 段的比,
那么 四条 段叫做成比例 段, 称比例 段, 作:
b
d
a
(或 a: b=c: d)
c
① 段 a, d 叫做比例外 , 段
b, c 叫做比例内 ,
② 段 a 叫首 , d 叫 a, b,c 的第四比例 。
③ 比例中 : 若 a
b 即 b2
a
c
,
则 b是 a c 的比例中 .
b
c
,
(二)比例式的性
1. 比例的基本性 : a
c
ad
bc
b
d
合比:若 a
c , a b
c
d 或
a
d
c
2.
b
d
b
d
b
a
c
等比:若 a
c
e
??
m
k(若 b
d
f
?? n
0)
3.
b
d
f
n
4、黄金分割:
把 段 AB 分成两条 段
AC , BC ( AC>BC ),并且使 AC 是 AB 和 BC 的比例中 ,
5
1
叫做把 段 AB 黄金分割,点 C 叫做 段 AB 的黄金分割点, 其中 AC=
AB 0.618AB ,
2
( 三 ) 平行 分 段成比例定理
平行 分 段成比例定理 : 三条平行 截两条直 , 所得的 段成比例 .
如 :当 AD∥BE∥CF ,都可得到 = . = , = ,
言描述如下: = , = , = .
(4)上述 也适合下列情况的 形:
图( 2)
图( 3)
图( 4)
图( 5)
2. 推论 : 平行于三角形一边的直线截其它两边
( 或两边的延长线 ) 所得的对应线段成比例 .
A 型
X 型
由 DE∥ BC可得: AD
AE或 BD
EC或AD
AE .
DB
ECAD
EA
AB
AC
推论的逆定理:如果一条直线截三角形的两边( 或两边的延长线 ) 所得的对应线段成比例 .
那么这条直线平行于三角形的第三边 .
如上图:若 = . = , = ,则 AD∥BE∥CF
此定理给出了一种证明两直线平行方法 , 即:利用比例式证平行线 .
定理 : 平行于三角形的一边 , 并且和其它两边相交的直线 , 所截的三角形的三边 与原三角形
..........
三边 对应成比例 .
..
二:相似三角形:
(一):定义:
1:对应角相等,对应边成比例的三角形,叫做相似三角形。用符号“∽”表示,
2:相似比:相似三角形的对应边的比叫做相似比。
(二): .相似三角形的判定定理:
1:平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所截成的三角形与原三
角形相似。
用数学语言表述如下:
∵DE ∥ BC ,∴△ ADE ∽△ ABC
三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下:
类型
斜三角形
直角三角形
全等三角形的判定
SAS
SSS
AAS( ASA)
HL
相似三角形
两边对应成
三边对应成
两角对应相
一条直角边
比例且夹角
与斜边对应
的判定
比例
等
相等
成比例
2:两角对应相等的两个三角形相似 ( 此定理用的最多 );
用数学语言表述如下:
∵∠ A=∠ D,∠ B=∠ E∴△ ABD ∽△ DEF
3:两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似 ;
用数学语言表述如下:
AB= AC DE DF
∴△ ABD ∽△ DEF
4:三边对应成比例的两个三角形相似 ;
用数学语言表述如下:
AB = AC = BC ∴△ ABD ∽△ DEF
DEDFEF
5:直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似 .
用数学语言表述如下:
∵∠ C=∠ F =90° AB= AC
DE DF
∴△ ABD ∽△ DEF
6:直角三角形斜边的高分直角三角形所成的两个直角三角形与原直角三角形相似
(即:射影定理) .
2、 相似三角形的基本图形
.平行线型:即 A 型和 X 型。
.相交线型
下图
1:若△ ABC ∽△ DCB,
则 AB2
=
AD.AC
此类型比例式最常用
)
(
C
D
A
D
(三) 相似三角形的
相似三角形的对应2:B.相似三角形对应高 A 都等于相似比
相似三角形周长的
相似三角形面积的
E
性质
D
A 角相等,对应边成比例
E
的比、对应中线的比与对应角平分线的比
B B C
比等于相似比
比等
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