曲线的极坐标方程.docxVIP

A fa O /A ； / 曲线的极坐标方程典型例题 o X 例1求从极点岀发，倾斜角是 4的射线的极坐标方程. 解；设M （「上）为射线上任意一点（右图），则射线就是集合 将已知条件用坐标表示，得 这就是所求的射线的极坐标方程?方程中不含 “，说明射线上的极坐标中 JT1的一条直线?如果以不允 JT 1的一条直线?如果以不允 注意：如果允许 以取负值时，方程①所表示的是倾斜角为 许取负值，这条直线就要用两个方程戈旧■-和 许取负值，这条直线就要用两个方程 戈旧 ■-和 来表示。 例2求过点A （盒，0）且倾斜角为空的直线的极坐标方程. 分析：以原点为极点， x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设直线上任一点 M（,匚）， 由 H 中的正弦定理可得 门，的方程. TOC \o 1-5 \h \z 解：如图，以原点 O为极点，芒轴正半轴为极轴建立极坐标系，设直线上任一点 M （”， 0）,连接 OM 则 °皿 ° P，= ff. 在= F中，由正弦定理得： 応 = # :I / 5 即 ■?:- ???所求直线的极坐标方程为 n i 1 L.亠1 - 小结：（I ）求曲线的极坐标方程的步骤： 第一步：设P（，石）是曲线上任意一点； 第二步：找P (心，旧)在曲线运动时所满足的几何条件，根据这个几何 条件组成一个等式； 第三步：将这个等式译成关于 厂，丘的方程, 对于第二步、第三步要特点注意，由于 °和分别表示距离和角，它们常常由三角形联 系起来，因此要注意解三角形知识的灵活运动. 下面给岀几种特殊情况下直线的极坐标方程. l )与极轴垂直且与极点距离为 巴的直线的方程为x - 与极轴反向延长线垂直且到极点距离为的直线方程为 ■ -p. 在极轴上方，与极轴平行且到极点距离为的直线方程为 Q血 0 ■ p 在极轴下方，与极轴平行且到极点距离为的直线方程为 psin - -p 对这几种形式的直线极坐标方程要熟悉，以便应用，并请你对上述几个方程予以推导. 例3解答下列各题 求圆心是C (^ , 0)，半径是二的圆的极坐标方程。 求圆心是C (门：，「)，半径为?1的圆的极坐标方程。 解：(1)由已知条件，圆心在极轴上，圆经过极点 0。设圆和极轴的另一个交点是 A (右 那么I， 八 设MV：)是圆上任意一点，则- ---■，可得甘 用极坐标表示已知条件可得方程 心■ 2白 这就是所求的圆的极坐标方程。 (2)设P ()为圆周上任意一点 在丄=中， |C7P|-r,|CC|-A#|QP|-p根据余弦定理, |C7P|-r,|CC|-A#|QP|-p 根据余弦定理, |C7Pf ■* pcf - 2\0C[ |?F|cos^ -即 定=d *应i 2阳閃昨-角）, TOC \o 1-5 \h \z 就是上卩-」「「’.占_ - ■ _「 1 这就是圆在极坐标系的一般方程。 小结：下面对较为常见的极坐标方程作如下整理： （1） 圆心是（之，0），半径为-；的圆的极坐标方程为 「 （2） 圆心是（一；，0），半径为二的圆的方程为? ： （3） 圆心是（主，二），半径为二的圆的方程为 （4） 圆心是（左，-），半径为左的圆的方程为■ I八 （5） 圆心是（0, 0），半径为二的圆的方程为 匸=■ （6）圆心是门1，1），半径为”的极坐标方程为 匚_ L 一匚+「?」— （6）圆心是 =0. 例4从极点O作圆C:「 …二：的弦ON的中点M的轨迹方程。 解法1:如图，圆 解法1:如图，圆 C的圆心C （4，0），半径 r = |C?C| = 4. 连结CM T M为弦ON的中点, ???丄-r 故M在以 故M在以OC为直径的圆上，所以，动点M的轨迹方程是 p - 4cos6 （点（2,亍）除外） 解法2:设M点的坐标是（小，石），N（门，】）,?/ N点在圆J-- 上，二?：，: 0 ?/ M是ON的中点，二 L 「 ，故M点轨迹方程为『 、? （点（2，匚）除外。） 小结：由于从不同的角度去思考，而有解法 1和解法2. 解法1是利用定义法求得轨迹方程. 解法2是利用转移法求得轨迹方程. 返回