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31 有限单元法基础 一维问题： 刚度矩阵 (stiffness matrix) ： 方程中 A ij 的计算： ? ? ? ? 1 0 dx A k i ik ? ? dx dx dx dx dx dx dx dx A dx x x dx x x dx x x 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 0 1 1 1 1 11 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? dx dx dx dx dx dx dx dx A dx dx dx x x x dx x 2 1 1 0 0 2 2 2 2 1 0 2 2 2 2 22 2 2 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 32 有限单元法基础 一维问题： 刚度矩阵 (stiffness matrix) ： 方程中 A ij 的计算： ? ? ? ? 1 0 dx A k i ik ? ? dx dx dx dx dx dx dx dx A dx x x dx x x dx x x 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 0 2 1 2 1 12 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 12 21 A A ? 33 有限单元法基础 一维问题： 刚度矩阵 (stiffness matrix) ： 方程中 A ij 的计算： ? ? ? ? 1 0 dx A k i ik ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 ? A 34 有限单元法基础 一维问题： 边界条件和源项： 原始方程为： 如果假设： 最后变换为以下方程： 加上边界条件后，设： 其中 u(0) 和 u(1) 是区域 [0 ， 1] 边界处的值。 ) ( ) ( x f x u ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 0 1 0 1 dx f dx c k k i n i i ? ? ? ? ? ? N i i i c u 1 ~ ? N N i i i u u c u ? ? ? ) 1 ( ) 0 ( ~ 1 1 2 ? ? ? ? ? ? 35 有限单元法基础 一维问题： 边界条件和源项： 原始方程为： 加上边界条件后，设： 最后变换为以下方程： 可以写为矩阵形式： ) ( ) ( x f x u ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 2 ) 1 ( ) 0 ( dx u dx u dx f dx c k n k k k i n i i ? ? ? ? ? ? ? N N i i i u u c u ? ? ? ) 1 ( ) 0 ( ~ 1 1 2 ? ? ? ? ? ? k ik i g A b ? k i T ik g b A ? 36 有限单元法基础 一维问题： 边界条件和源项： 用图形形象表示（系统通过修改后的源项来考虑边界条件）： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 2 ) 1 ( ) 0 ( dx u dx u dx f dx c k n k k k i n i i ? ? ? ? ? ? ? k i T ik g b A ? 边界条件 源项 边界条件 37 有限单元法基础 一维问题： 数值算例（等间距离散点）： 偏微分方程： 区域 :[0,1];nx=100; dx=1/(nx-1);f(x)= δ (1/2); 边界条件： u(0)=u(1)=0 ) ( ) ( x f x u ? ? ? Matlab 有限单元程序 Matlab 有限差分程序 38 有限单元法基础 一维问题： 数值算例（等间距离散点）： 偏微分方程： 区域 :[0,1];nx=100; dx=1/(nx-1);f(x)= δ (1/2); 边界条件： u(0)=u(1)=0 有限单元 Matlab 程序 计算结果（蓝色）
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