《三角恒等变形讲义》.docxVIP

三角恒等变换专题讲义 李霞 知识点1 :两角和与差的正弦、余弦和正切公式 两角和与差的余弦公式 cos（ ： - I*） = cos ： cos ： sin ： sin : cos（h，I-） = cos： cosP -sin ： sin : 注：1.公式中两边的符号正好相反（一正一负） 式子右边同名三角函数相乘再加减，且余弦在前正弦在后 会逆用及其变形 两角和与差的正弦 sin（二-：）=sin ： cos ： - cos ： sin : sin（ ：e - F） = sin ： cos ： cos ： sin : 注：1.公式中两边的符号相同 式子右边异名三角函数相乘再加减 会逆用及其变形 两角和与差的正切公式 tan ： tan tan（ a +6 — , — tan-：、tan - tan（-出）= 注：1.两角和时，上加下减 两角差时，上减下加 会逆用及其变形 考点1：求值问题 【例】求下列各式的值 （1） cos75 cos75°cos15°— sin255 sin15 sin47 — sin47 Cos30 cos170 1+tan75 1 — tan75 tan20 +tan40 + , 3 tan20 tan40 考点2:化简问题 【例】化简下列各式 - — sinx+1 cosx 2 (2)览 sinx — 1 cosx 2 2 知识点2:两倍角的正弦、余弦和正切公式 两倍角的正弦公式 Sin2 a=2sin acos 成 两倍角的余弦公式 Cos2a nos2 a-sin 2 a=2cos2 a— 1=1 — 2sin 2 a 两倍角的正切公式 2 tan : t an2a= _-__2~ 1 -tan :■ 注：对以上三个公式会逆用及其变形 考点：求值问题 【例1】已知：sin时 cosa= J2 ,威(0, 【例1】已知：sin 【例2】计算求值 sin10 3 cos10 知识点3:简单的三角恒变形 半角公式 (1) sin —= 2 1 - cos： 一 2 1 cos： （2） ,c、 ， ： sin 上 1 - cos -■ (3) tan —= = 2 1 cos 二 sin 二 和差化积 TOC \o 1-5 \h \z P S ， L 5 — L =2 sin cos 2 2 小、一 .r . ct +E . a —E sin a—sin P = 2cos sin 2 2 c …R . a+E a -P cos a + cos P = 2 cos cos 2 2 ,八 一，R …a +E . a —B cos — cos P = —2sin sin 2 2 积化和差 1 一 ? sin a cos E = — [sin( a + E) + sin(口一 P)] 2 - 1 - - cos^sin E = —[sin(a +E)—sin(a — E)] cosot cos P =—[cos(a 十 时+cos(a 一 )] 2 1「 sin a sin P = ——[cos(a + B) — cos(a — 0)] 2 辅助角公式 辅助角公式：asinx+bcosx = Ja2 +b2 sin(x)(其中8角所在的象限由a, b的 符号确定，e角的值由tanB=b确定)在求最值、化简时起着重要作用 a 考点1:化简求值问题 (1)升籍化简 . .2 【例2】化简：?.〔 -sin 440 【例3】a是第三象限角，化简 JI (5 )1 -cos^ 1 JI (5 ) 【例4】化简?1 cos^ 【例4】化简 (2)降籍化简 2 【例1】求函数y =2cos x+sin2x的取小值 【例2】函数y=2cos2 X 1一1最小正周期为 .4 XS3 X S350 2C R的单调递增区间为 (3)切化弦 【例1】求sin50 ° (1 + j3tan10)的值 【例 2 【例 2】(tan10 °— 73) cos10 sin 50 巧变角(已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的 变换、两角与其和差角的变换.如a =(a十E) —E =(a —E)十E , a + |3 2a =(口 + E) +(a — E) , 2a =(E 十a)—(E —a) , a+E =2 —,~ , 孝冬-如尸)等) 2 1 【例1】已知tan(a+0)=5 , tan^ -—) = 4，求tan(十穿)的值 【例3］已知：锐角a和6 ,满足sin ( a — 6 ) =— , sin a =4 ,求sin 3的值 5 5 【例4】已知： 【例4】已知：tan ，二、1 Xa +一)=— , tan —,求 tan ( a + 6 )的值 2 辅助角 3