交通运输线性规划运输问题.docVIP

PAGE 1 第四章运输问题 Chapter4 TransportationProblem §4.1 运输问题的定义 设有同壹种货物从 m 个发地 1,2,…,m 运往 n 个收地 1,2,…,n。 第 i 个发地的提供量（Supply）为 s （s ≥0）,第 j 个收地的需求量 i i （Demand）为 d （d ≥0）。每单位货物从发地 i 运到收地 j 的运价为 c 。 j j ij 求壹个使总运费最小的运输方案。我们假定从任壹发地到任壹收地都有道路 通行。如果总提供量等于总需求量,这样的运输问题称为供求平衡的运输问 题。我们先只考虑这壹类问题。 图 4.1.1 是运输问题的网络表示形式。 运输问题也能够用线性规划表示。设 x 为从发地 i 运往收地 j 的运量, ij 则总运费最小的线性规划问题如下页所示。运输问题线性规划变量个数为 nm 个,每个变量和运输网络的壹条边对应,所有的变量都是非负的。约束个数 为 m+n 个,全部为等式约束。前 m 个约束是发地的提供量约束,后 n 个约束 是收地的需求量约束。运输问题约束的特点是约束左边所有的系数都是 0 或 1,而且每壹列中恰有俩个系数是 1,其他都是 0。 运输问题是壹种线性规划问题,当然能够用第壹章中的单纯形法求解。 但由于它有特殊的结构,因而有特殊的算法。在本章中,我们将在单纯形法 原理的基础上,根据运输问题的特点,给出特殊的算法。 在运输问题线性规划模型中,令 X=（x ,x ,…,x ,x ,x ,…,x ,……,x ,x ,…,x ） 11 12 1n 21 22 2n m1 m2 mn T T C=（c ,c ,…,c ,c ,c ,…,c ,……,c ,c ,…,c ） 11 12 1n 21 22 2n m1 m2 mn A=[a ,a ,…,a ,a ,a ,…,a ,……,a ,a ,…,a ] T 11 12 1n 21 22 2n m1 m2 mn = b=（s ,s ,…,s ,d ,d ,…,d ）T 1 2 m 1 2 n 则运输问题的线性规划能够写成： minz=CTX s.t.AX=b X≥0 其中 A 矩阵的列向量 a =e +e m+j ij i e 和 e 是 m+n 维单位向量,元素 1 分别在在第 i 个分量和第 m+j 个分量的 i m+j 位置上。A 矩阵中的行和运输网络中的节点对应,前 m 行对应于发地,后 n 行对应于收地；A 矩阵的列和运输网络中的边对应。 运输问题除了用网络表示及线性规划表示外,仍能够用运输表表示： 1 2 … n c11 c12 c22 … … … … … c1n c2n … 1 2 s1 s2 … sm x11 x12 x22 … … … … … x1n x2n … c21 x21 … … m … cm1 cm2 cmn xm1 xm2 xmn d1 d2 … dn 表 4.1 表的行和发地对应,列和收地对应。第 i 行和第 j 列交叉的壹格和网络 的壹条边对应（也就是和线性规划约束矩阵的壹列对应）,每壹格的左上角 小方格内的数字表明从相应的发地 i 到收地 j 的运价 c ,每壹格右下角表明 ij 从相应的发地 i 到收地 j 的运量 x 。表右方表明各发地的提供量 s ,表下 ij i 方表明各需求第的需求量 d 。每壹行运量之和表示从该发地运往各收地的运 j 量之和,它应该等于该发地的提供量；同样,每壹列运量之和表示从各发地 运往该收地的运量之和,它应该等于该收地的需求量。 运输问题的网络图、线性规划模型以及运输表之间的关系能够用下表表 示： 网络图 发点 i 线性规划模型 前 m 个约束 后 n 个约束 变量 x ,列向量 a 运输表 表的行 节点 边 约束 收点 j 表的列 从节点 i 到节点 j 表中的壹格 ij ij 例 4.1 以下的运输问题线性规划、网络图和运输表表示同壹运输问题。 min z= 8x11 x11 +5x12 +x12 +6x13 +x13 +7x21 +4x22 +9x23 s.t. =15 =25 x21 +x22 +x23 x11 +x21 =10 =20 =10 ≥0 x12 +x22 x13 x , 13 +x23 x23 x , 11 x , 12 x , 21 x , 22 1 2 3 10 20 1 2 8 7 5 4 6 9 8 5 1 2 15 25 15 1 x11 x12 x13 6 7 x21 x22 x23 4 25 2 9 10 20 10 3 10 表 4.2 图 4.2 §4.2 运输问题约束矩阵的性质 4.2.1 约束矩阵的秩 运输问题约束矩阵 A 的秩为 m+n-1。 证明：因为 A 矩阵的前 m 行和后 n 行