北师大版八年级下册数学第一章三角形的证明 第一节等腰三角形(无答案).docxVIP

等腰三角形知识讲解 【学习目标】 了解等腰三角形、等边三角形的有关概念 , 掌握等腰三角形的轴对称性； 掌握等腰三角形、等边三角形的性质，会利用这些性质进行简单的推理、证明、计算和作图． 理解并掌握等腰三角形、等边三角形的判定方法及其证明过程. 通过定理的证明和应用，初步了解转化思想，并培养学生逻辑思 维能力、分析问题和解决问题的能力. 理解反证法并能用反证法推理证明简单几何题 . 【要点梳理】 要点一、等腰三角形的定义 1.等腰三角形 有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的 夹角叫做底角. 如图所示，在△ABC 中，AB＝AC，△ABC 是等腰三角形，其中 AB、AC 为腰，BC 为底边,∠A 是顶角，∠B、∠C 是底角． 2.等腰三角形的作法 已知线段 a,b(如图).用直尺和圆规作等腰三角形 ABC,使 AB=AC=b,BC=a. 作法：1.作线段 BC=a； 分别以 B,C 为圆心，以 b 为半径画弧，两弧相交于点 A; 3.连接 AB,AC. △ABC 为所求作的等腰三角形 等腰三角形的对称性 等腰三角形是轴对称图形； ∠B＝∠C； BD＝CD，AD 为底边上的中线. (4)∠ADB＝∠ADC＝90°，AD 为底边上的高线. 结论：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(底边上的高线或中线)所在的直线是它的对称轴. 4.等边三角形 三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形.等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分 线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴. 要点诠释：（1）等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角） .∠A＝180°－2∠B，∠B ＝∠C＝ 180???A 2  . （2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形 . 要点二、等腰三角形的性质 1.等腰三角形的性质 性质 1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”． 推论：等边三角形的三个内角都相等，并且每个内角都等于 60°. 性质 2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”． 2.等腰三角形中重要线段的性质 等腰三角形的两底角的平分线（两腰上的高、两腰上的中线）相等. 要点诠释：这条性质，还可以推广到一下结论： 等腰三角形底边上的高上任一点到两腰的距离相等。 等腰三角形两底边上的中点到两腰的距离相等. 等腰三角形两底角平分线，两腰上的中线，两腰上的高的交点到两腰的距离相等，到底边两端上的距离相等 . （4）等腰三角形顶点到两腰上的高、中线、角平分线的距离相等. 要点三、等腰三角形的判定定理 1.等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边. 要点诠释：(1)要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆．判定定理得到的结论是等腰三角形，性质定理是已知三角形 是等腰三角形，得到边和角关系. （2）不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形． 2.等边三角形的判定定理 三个角相等的三角形是等边三角形. 有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形. 3. 含有 30°角的直角三角形 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 要点四、反证法 在证明时，先假设命题的结论不成立，然后从这个假设出发，经过逐步推导论证，最后推出与学过的概念、基本事实，以证明 的定理、性质或题设条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明命题的方法叫做反证法 . 要点诠释：反证法也称归谬法，是一种间接证明的方法，一般适用于直接证明有困难的命题．一般证明步骤如下： 假定命题的结论不成立； 从这个假设和其他已知条件出发，经过推理论证，得出与学过的概念、基本事实，以证明的定理、性质或题设条件相矛 盾的结果； 由矛盾的结果，判定假设不成立，从而说明命题的结论是正确的 . 典型例题 考点 1：利用等腰三角形的性质求角 例 1、（1）在△ABC 中，AB=AC,若∠A=50°，求∠B; 若等腰三角形的一个角为 70°，求顶角的度数； 若等腰三角形的一个角为 90°，求顶角的度数； 变式：如图，已知△ABC 中，AB=BD=DC ，∠ABC=105°，求∠A，∠C 度数． 考点 2：利用“等边对等角”进行推理证明 例 2：如图，在△ABC 中，AB=AC，D 为 AB 上一点，E 为 AC 延长线上的一点，且 CE=BD，连接 DE 交 BC 于点 P。 求证：PD=PE； 变式：在△A