类型一　用数学的眼光观察世界——数学抽象、直观想象.docVIP

类型一　用数学的眼光观察世界——数学抽象、直观想象 素养1　数学抽象 数学抽象主要表现为：获得数学概念和规则，提出数学命题和模型，形成数学方法与思想，认识数学结构与体系. 【例1】 (2020·北京卷)为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改.设企业的污水排放量W与时间t的关系为W＝f(t)，用－eq \f(f（b）－f（a）,b－a)的大小评价在[a，b]这段时间内企业污水治理能力的强弱.已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示. 给出下列四个结论： ①在[t1，t2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ②在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ③在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标； ④甲企业在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[0，t1]的污水治理能力最强. 其中所有正确结论的序号是__________. 解析　－eq \f(f（b）－f（a）,b－a)表示在[a，b]上割线斜率的相反数，－eq \f(f（b）－f（a）,b－a)越大治理能力越强. 对于①，在[t1，t2]这段时间内，甲企业对应图象的割线斜率的相反数大，故甲企业的污水治理能力比乙企业强，正确；对于②，要比较t2时刻的污水治理能力，即看在t2时刻两曲线的切线斜率，切线斜率的相反数越大，污水治理能力越强，故在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强，正确；对于③，在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水达标排放量以下，正确；对于④，甲在[t1，t2]这段时间内的污水治理能力最强，错误.综上，正确的序号为①②③. 答案　①②③ 【训练1】 如图，圆O的半径为1，A，B是圆上的定点，OB⊥OA，P是圆上的动点，点P关于直线OB的对称点为P′，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，将|eq \o(OP,\s\up6(→))－eq \o(OP′,\s\up6(→))|表示为x的函数f(x)，则y＝f(x)在[0，π]上的图象大致为(　　) 解析　建立如图的平面直角坐标系，则P(cos x，sin x)，P′(cos(π－x)，sin(π－x))， 即P′(－cos x，sin x)， ∴eq \o(OP,\s\up6(→))－eq \o(OP′,\s\up6(→))＝(cos x，sin x)－(－cos x，sin x)＝(2cos x，0)， ∴f(x)＝|eq \o(OP,\s\up6(→))－eq \o(OP′,\s\up6(→))|＝2|cos x|.故选A. 答案　A 素养2　直观想象 直观想象主要表现为：建立形与数的联系，利用几何图形描述问题，借助几何直观理解问题，运用空间想象认识事物，构建数学问题的直观模型解决问题. 【例2】 (多选题)(2020·海南新高考诊断)如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝eq \r(2)AA1，E，F分别为AB，BC的中点，异面直线AB1与C1F所成角的余弦值为m，则(　　) A.m＝eq \f(\r(3),3) B.直线A1E与直线C1F共面 C.m＝eq \f(\r(2),3) D.直线A1E与直线C1F异面 解析　连接EF，AC，A1C1，C1D，DF，因为E，F分别为AB，BC的中点，所以EF∥AC，所以EF∥A1C1，所以直线A1E与直线C1F共面.因为AB1∥C1D，所以异面直线AB1与C1F所成的角为∠DC1F.设AA1＝eq \r(2)，则AB＝eq \r(2)AA1＝2，DF＝eq \r(5)，C1F＝eq \r(3)，C1D＝eq \r(6).在△DC1F中，由余弦定理，得m＝cos ∠DC1F＝eq \f(3＋6－5,2×\r(3)×\r(6))＝eq \f(\r(2),3).故选BC. 答案　BC 【训练2】 (2020·新高考山东卷)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则eq \o(AP,\s\up6(→))·eq \o(AB,\s\up6(→))的取值范围是(　　) A.(－2，6) B.(－6，2) C.(－2，4) D.(－4，6) 解析　如图，取A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(2，0)，C(3，eq \r(3))，F(－1，eq \r(3)).设P(x，y)，则eq \o(AP,\s\up6(→))＝(x，y)，eq \o(AB,\s\up6(→))＝(2，0)，且－1＜x＜3.所以eq \o(AP,\s\up6(→))·eq \o(AB,\s\up6(→))＝(x，y)·(2，0)＝2x∈(－2，6).故选A. 答案　A