小学奥数 构造与论证 精选例题练习习题(含知识点拨).docx

构造与论证 教学目标 掌握最佳安排和选择方案的组合问题. 利用基本染色去解决相关图论问题． 知识点拨 知识点说明 各种探讨给定要求能否实现，在论证中，有时需进行分类讨论，有时则要着眼于极端情形，或从整体 把握．设计最佳安排和选择方案的组合问题，这里的最佳通常指某个量达到最大或最小．解题时，既要构 造出取得最值的具体实例，又要对此方案的最优性进行论证．论证中的常用手段包括抽屉原则、整除性分 析和不等式估计． 组合证明题，在论证中，有时需进行分类讨论，有时则需要着眼于极端情况，或从整体把握。若干点 及连接它们的一些线段组成图，与此相关的题目称为图论问题。若干点及连接它们的一些线段组成图，与 此相关的题目称为图论问题，这里宜从特殊的点或线着手进行分析．各种以染色为内容，或通过染色求解 的组合问题，基本的染色方式有相间染色与条形染色． 知识点拨 板块一、最佳安排和选择方案 【例 1】 5 卷本百科全书按从第 1 卷到第 5 卷的递增序号排列，今要将它们变为反序排列，即从第 5 卷 到第 1 卷．如果每次只能调换相邻的两卷，那么最少要调换多少次? 【考点】构造与论证 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】 因为必须是调换相邻的两卷，将第 5 卷调至原来第 1 卷的位置最少需 4 次，得到的顺序为 51234； 现在将第 4 卷调至此时第 1 卷的位置最少需 3 次，得到的顺序为 54123； 现在将第 3 卷调至此时第 1 卷的位置最少需 2 次，得到的顺序为 54312； 最后将第 1 卷和第 2 卷对调即可． 所以，共需调换 4+3+2+1=10 次． 【答案】10 次 【例 2】 在 2009 张卡片上分别写着数字 1、2、3、4、……、2009，现在将卡片的顺序打乱，让空白面 朝上，并在空白面上又分别写上 1、2、3、4、……、2009．然后将每一张卡片正反两个面上的 数字相加，再将这 2009 个和相乘，所得的积能否确定是奇数还是偶数？ 【考点】构造与论证 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】 从整体进行考虑．所得的 2009 个和相加，便等于 1～2009 的所有数的总和的 2 倍，是个偶数．2009 个数的和是偶数，说明这 2009 个数中必有偶数，那么这 2009 个数的乘积是偶数． 本题也可以考虑其中的奇数．由于 1～2009 中有 1005 个奇数，那么正反两面共有 2010 个奇数， 而只有 2009 张卡片，根据抽屉原理，其中必有 2 个奇数在同一张卡片上，那么这张卡片上的数 字的和是偶数，从而所有 2009 个和的乘积也是偶数． 【答案】偶数 【例 3】 一个盒子里有 400 枚棋子，其中黑色和白色的棋子各 200 枚．下面我们对这些棋子做如下操作： 每次拿出 2 枚棋子，如果颜色相同，就补 1 枚黑色棋子回去；如果颜色不同，就补 1 枚白色的 棋子回去．这样的操作，实际上就是每次都少了 1 枚棋子，那么，经过 399 次操作后，最后剩 下的棋子是 颜色(填“黑”或者“白”)． 【考点】构造与论证 【难度】3 星 【题型】填空 【解析】 在每一次操作中，若拿出的两枚棋子同色，则补黑子 1 枚，所以拿出的白子可能为 0 枚或 2 枚； 若拿出的两枚棋子异色，则补白子 1 枚，“两枚棋子异色”说明其中一黑一白，那么此时拿出的白 子数为 0 枚．可见每次操作中拿出的白子都是偶数枚，而由于起初白子有200 枚，是偶数枚，所 以每次操作后剩下的白子都是偶数枚，因此最后 1 枚不可能是白子，只能是黑子． 【答案】黑子 【例 4】 在黑板上写上 1 、 2 、 3 、 4 、……、 2008 ，按下列规定进行“操怍”：每次擦去其中的任意两个 数 a 和 b ，然后写上它们的差(大数减小数)，直到黑板上剩下一个数为止．问黑板上剩下的数是 奇数还是偶数？为什么？ 【考点】构造与论证 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】 根据等差数列求和公式，可知开始时黑板上所有数的和为1 ?2 ?3 ? ?2008 ?2009 ?1004 是一个 偶数，而每一次“操作”，将 a 、b 两个数变成了 ( a ?b ) ，它们的和减少了 2b ，即减少了一个偶数．那 么从整体上看，总和减少了一个偶数，其奇偶性不变，还是一个偶数． 所以每次操作后黑板上剩下的数的和都是偶数，那么最后黑板上剩下一个数时，这个数是个偶数． 【答案】偶数 【例 5】 在 1997×1997 的正方形棋盘上的每格都装有一盏灯和一个按钮．按钮每按一次，与它同一行和 同一列方格中的灯泡都改变一次状态，即由亮变为不亮，或由不亮变为亮．如果原来每盏灯都 是不亮的，请说明最少需要按多少次按钮才可以使灯全部变亮? 【考点】构造与论证 【难度】4 星 【题型】解答 【解析】 最少要