2020年高考数学(理)大题分解专题05 解析几何(含答案).docx

1 21 2l 1 2 1 2 l 专题 05  解析几何 大题肢解一 直线与抛物线 （2019 年全国卷 I）已知抛物线  C ： y  2  ?3 x  的焦点为 F，斜率为  3 2  的直线  l  与  C  的交点为  A  ，  B  ， 与  x  轴的交点为 P  ． （1）若  | AF | ?| BF |?4  ，求  l  的方程； （2）若  uuur uuur AP ?3 PB ，求 | AB | ． 【肢解 1】若  | AF | ?| BF |?4 ，求 l 的方程； 【肢解 2】若  uuur uuur AP ?3 PB  ，求  | AB |  ． 【肢解 1】若  | AF | ?| BF |?4 ，求 l 的方程； 【解析】设直线 l 方程为  3 y ? x ?m 2  ，  A ?x, y ?，B?x, y 1 1 2 2  ?  ， 由抛物线焦半径公式可知 AF ? BF ? x ?x ? 1 2 3 5 ?4 ，所以 x ?x ? ， 2 2 联立  ? ? ?  3 y ? x ?m 2  得  9 x  2  ?12( m ?12) x ?4 m  2  ?0  ， 由 ? 2 y ?3 x ? ??(12 m ?12) 2 ?144 m 2 ?0  得 m ?   ， 12 m ?12 5 7 所以 x ?x ?? ? ，解得 m ?? ， 9 2 8 3 7 所以直线 的方程为 y ? x ? ，即 12 x ?8 y ?7 ?0 . 2 8 uuur uuur 【肢解 2】若 AP ?3 PB ，求 | AB | ． 91 12 21 21 2 9 1 1 2 2 1 2 1 2 【解析】设直线 l 方程为 x ?   y ?t ， 联立  ? ? ? ? ?  x ? y ?t y 2 ?3 x  得 y 2 ?2 y ?3t ?0 ，由  ??4 ?12t ?0  得  t ??  1 3  ， 由韦达定理知  y ?y ?2 1 2  ， 因为  AP ?3 PB  ，所以  y ??3y 1  2  ，所以  y ??1 2  ，  y ?3 1  ，所以  t ?1  ，  y y ??3 1 2  . 则  | AB |? 1 ?  4 9  ? ( y ?y ) 1 2  2  4 ?4 y y ? 1 ? ? 2 1 2  2  ?4 ?(?3) ?  4 13 3  . 设抛物线  y 2 ?2 px ( p ?0)  的焦点为  F  ，过点  F  的而直线交抛物线于 A(x ，y )，B(x ，y )，则|AB|＝ x ＋x ＋p. 弦长的计算方法：求弦长时可利用弦长公式，根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二 次方程，利用根与系数的关系得到两根之和、两根之积的代数式，然后进行整体代入弦长公式求解． 温馨提示：注意两种特殊情况：(1)直线与圆锥曲线的对称轴平行或垂直；(2)直线过圆锥曲线的焦点． 【拓展 1】已知抛物线  C  ：  y 2 ?3 x  的焦点为 F，斜率为  3 2  的直线  l  与  C  的交点为  A  ，  B  ，与  x  轴的交点 为  P  ．若  | AF | ?| BF |? 7 2  ，求  l  在  y  轴上的截距. 【解析】设直线 l 方程为 3 y ? x ?m 2  ，  A ?x, y ?，B?x, y 1 1 2 2  ?  ， 由抛物线焦半径公式可知 AF ? BF ? x ?x ? 1 2 3 7 ? ，所以 x ?x ?2 ， 2 2 联立  ? ? ?  3 y ? x ?m 2  得  9 x  2  ?12( m ?12) x ?4 m  2  ?0  ， 由 ? 2 y ?3 x ? ??(12 m ?12) 2 ?144 m 2 ?0  得 m ?   ， 1 21 22 2 1 2 1 2 2 2 所以 x ?x ?? 1 2 12 m ?12 9  ?2 ，解得 m ?? ， 所以直线 l 的方程为 y ? 3 1 x ? ，令 2 2  x ?0  得  y ??   ， 所以直线  l  在  y  轴上的截距为  ?   . 【拓展 2】已知抛物线 C ： y 2 ?3 x 的焦点为 F，斜率为 uuur uuur 为 P ．若 AP ?2 PB ， M (