复变函数与积分变换重要的知识点归纳.docx

y y 复变函数复习重点 (一)复数的概念 1.复数的概念：  z x iy， x,y 是实数,  x Re z ,y Im z  .  i2  1  . 注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小 . 2.复数的表示 1）模：  z x  2  y  2  ； 2）幅角：在  z 0  时，矢量与 x 轴正向的夹角，记为  Arg z  （多值函 数）；主值 arg z 是位于  ( , ]中的幅角。 3） arg z 与 arctan 之间的关系如下： x 当 y x 0, argz arctan x ； 当  x 0,  y y 0,argz arctan y 0,argz arctan x  ； 4）三角表示：  z z cos isin  ，其中  argz  ；注：中间一定是“+” 号。 5）指数表示：  z z ei  ，其中  argz  。 (二) 复数的运算 1.加减法：若  z 1  x 1  iy,z 1 2  x 2  iy ，则 z 2 1  z 2  x 1  x 2  i y 1  y 2 2.乘除法： 1）若  z 1  x 1  iy,z 1 2  x 2  iy 2  ，则 z z 1 2  x x 1 2  y y 1 2  i x y 2 1  x y 1 2 ； z 1 z 2  x iy 1 1 x iy 2 2  x iy x iy 1 1 2 2 x iy x iy 2 2 2 2  x x 1 2 x2 2  y y y x y x 1 2 i 1 2 2 1 y2 x2 y2 2 2 2  。 2）若  z 1  z ei 1  1 ,z z ei 2 2 2 , 则 n nzGD w n n z G D w 实用标准文案 z z 1 2  z z ei 1 2  1 2  ； z z 1 1 z z 2 2  ei  1 2 3.乘幂与方根 1） 若  z z (cos isin ) z ei  ，则  zn  z (cosn isinn ) z ein  。 2） 若  z z (cos isin ) z ei  ，则 n  z z  1 n  cos  2k 2k isin n n  (k 0,1,2 n 1)（有 n 个相异的值） （三）复变函数 1 ．复变函数：  w f z  ，在几何上可以看作把 平面上的一 个点集 变到 平面上的一个点集 的映射. 2．复初等函数 1）指数函数 ： 且 。 ez ez  ez  ex  cosy isiny  ，在 z 平面处处可导，处处解析； 注： e z 是以 2 i为周期的周期函数。（注意与实函数不同） 3） 对数函数：  Lnz ln z i(argz 2k ) (k 0, 1, 2 )  （多值函数）； 主值：  lnz ln z iargz  。（单值函数） Lnz  的每一个主值分支  lnz  在除去原点及负实轴的 z 平面内处处 解析，且  lnz  1 z  ； 注：负复数也有对数存在。（与实函数不同） 3）乘幂与幂函数：  a  b  ebLna ； (a 0)  zb  ebLnz  (z 0) 注：在除去原点及负实轴的 z 平面内处处解析，且  zb  bzb 1  。 4）三角函数：  sinz  eiz e iz eiz e iz sinz cosz ,cosz ,tgz ,ctgz 2i 2 cosz sinz sinz,cosz  在 z 平面内解析，且  sinz cosz, cosz sinz 精彩文档 注：有界性  sinz 1,cosz 1 实用标准文案 不再成立；（与实函数不同） 4） 双曲函数  shz  ez  e z ez e ,chz 2 2  z  ； shz  奇 函 数 ，  c h z是  偶 函 数 。  s h,z c h在zz  平 面 内 解 析 ， 且 s h z c,h z c h z 。 s h z （四）解析函数的概念 1．复变函数的导数 1）点可导：  f z 0  =  lim z 0  f z 0  z f z 0 z  ； 2）区域可导：  f z  在区域内点点可导。 2．解析函数的概念 1）点解析：  f z  在  z 0  及其  z 0  的邻域内可导，称  f z  在  z 0  点解析； 2）区域解析：  f z 在区域内每一点解析，称  f