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Word Word资料 圆锥曲线焦点弦公式及应用 省阳新县高级中学 邹生书 焦点弦是圆锥曲线的“动脉神经”，集数学知识、思想方法和解题策略于一 体，倍受命题人青睐，在近几年的高考中频频亮相，题型多为小题且位置靠后 属客观题中的压轴题，也有作为大题进行考查的。 定理1已知点F是离心率为罔的圆锥曲线U的焦点，过点IF的弦*召与的 焦点所在的轴的夹角为9,且曲二肿巩肚1）。（ 1）当焦点|召分弦朋时，有 e cos ^ = ——I 丸+ 1;（ 2）当焦点应外分弦乂百时（此时曲线为双曲线），有 口八1| g CQS = I。 证明设直线F是焦点F所对应的准线，点凡用在直线'上的射影分别为 A禺,点月在直线皿丄上的射影为“。由圆锥曲线的统一定义得, ，所以DJ7昭 ，所以 DJ7 昭 ,A^ = 如图1， 如图1， 丸41 （1）当焦点”分弦/丑时 ABF 肿 「冲口 w cgj?敷网-酬1 _ e w _ 見 T AB ~ AF^rBF ~ （見+ 1）方斤_总（乂_1） ，所以 图1 图1 （2）当焦点L外分弦I…匸时（此时曲线为双曲线） 如图2,ABF 如图2, ABF 肋 + 2十1 AM = AB e(Z-l) ，所以 图2 评注特别要注意焦点外分焦点弦（此时曲线为双曲线）和分焦点弦时公式 的不同，这一点很容易不加区别而出错。 2 2 C*刍-务=1債沁上＞0） 例1 （2009年高考全国卷U理科题）已知双曲线 肚B 的 右焦点为’，过'且斜率为'的直线交：于'一两点。若，则 的 离心率为（） “ 6 7 心2 小9 A- S. C - D.— 5 5 5 5 解这里2伽日二筋，所以&二机T，又^ = 4|，代入公式得"4+i , _ 6 所以"”，故选，。 例2 （2010年高考全国卷U理科第12题）已知椭圆 （7：｛+斗=讹"丸） — —小丨 I I a占 的离心率为？。过右焦点且斜率为才〔七」」）的直线于c 相交于几旧两点，若丽"而，则七.（） A1 B^2 C J5 D.2 解这里 Z， 2 ,设直线的倾斜角为& ,代入公式得 V ~2 2 ，所以 CCS F = -^= <3 ，所以 上二tan8二庞，故选另 2 - 例3（ 08高考卷理科第15题）过抛物线"-"：1的焦点-作倾斜角 为页'的直线，与抛物线交于ArB 为页'的直线，与抛物线交于 ArB两点（点」在F轴左侧），则有声用 图3 轴左侧时，设J>1，代入公式得 轴左侧时，设 J>1 ，代入公式得 解如图3,由题意知直线L」订与抛物线的地称轴的夹角■…，当点「在「 2-\ cos 6(T =—— 入+1 曲 1 曲 1 例4 （2010年高考全国卷I理科第16题）已知F是椭圆?的一个焦点， 丘是短轴的一个端点，线段 貯的延长线交U于点Q|,且丽=2丽，则U的离 心率为 解设直线月D与焦点所在的轴的夹角为 解设直线月D与焦点所在的轴的夹角为9,则 沪二丄 所以 3 代入公式得 例5 （自编题）已知双曲线（7: 例5 （自编题）已知双曲线 （7:耳一益=1 仗 AO/nO） a h ，过左 焦点F且斜率为心°的直线交°的两支于已月两点。若网胡财|，则― 込因直线卫丘与左右两支相交，故应选择公式几- 込因直线卫丘与左右两支相交，故应选择公式 几-1，代入公式得 3 3-1 ，所以 2所以 ，所以 k - tan 30' - 定理2已知点尸和直线/是离心率为?的圆锥曲线C的焦点和对应准线，焦 准距（焦点到对应准线的距离）为 戸。过点耳的弦乂丘与曲线O的焦点所在的轴 廖=缽 的夹角为恥*阿，则有 FF。 证明设点IF在准线/上的射影分别为儿久丹，过点歹作轴卩丹的垂线 交直线朋1于点加，交直线B鸟于点。由圆锥曲线的统一定义得， \AF\ _ _ \B^ 両-八画，所以濟|二召屮| ?阿|=舀|华| 图4(1)当焦点.分弦「时。如图4,匕-「扁」丄'一二：-丽卜丽- 图4 (1)当焦点.分弦「时。如图4,匕-「扁」丄'一二：- 丽卜丽-1砌p_丽匠⑥的F云叭両丽二 。 十 AF cqs & ? \AF\ =—聖一 \BF\=—聖— 所以较长焦半径 1 -呛心，较短焦半径 1+呻" 所以 \AB\ = \AF\^r\BF = 矽 + 零 _ 2sp 1 —cosB l + ecos^ 1 - e2 cos2 9 (2)当焦点.外分弦…时(此时曲线为双曲线) 图 图5 如图5,倒卜|桃卜同皿卜同刊闪詔-用 |溜卜|阳1| —|恥卜/■ —|防|切“ 。 所以AF = & - P\ |5J| =蓟声一所以\AF，较短焦半径 所以 AF = & - P\ |5J| =蓟声一 所以 \AF ，较短焦半径 \BF[- 聖— 腰血3 + 1 。 ?cos^-1 1-