离散数学期末考试试卷试题有几套带答案.docx

离散数学 (A 卷及答案） 一、 明 （ 10 分） 1)( P∧ ( Q∧R)) ∨(Q∧R)∨(P ∧R) R 明: 左端 ( P∧ Q∧R)∨((Q∨P)∧R) (( P∧ Q)∧R))∨((Q∨P)∧R) ( (P∨Q)∧R)∨((Q∨P)∧R) ( (P∨Q)∨(Q∨P))∧R ( (P∨Q)∨(P∨Q))∧R T∧R(置 ) R 2) x(A(x) B(x)) xA(x) xB(x) 明： x(A(x) B(x)) x( A(x)∨B(x)) x A(x)∨ xB(x) xA(x)∨ xB(x) xA(x) xB(x) 二、求命 公式 (P ∨ (Q∧ R)) (P∧ Q∧R)的主析取范式和主合取范式（ 10 分） 明： (P ∨(Q∧R))  (P ∧Q∧R)  (P∨ (Q∧ R)) ∨ (P∧ Q∧ R)) （ P∧(  Q∨  R)）∨ (P ∧Q∧R) ( (  P∧ P∧  Q)∨( P∧ Q∧R)∨(  R)) P∧  ∨(P ∧Q∧R) Q∧ R)∨(  P∧ Q∧  R)) ∨(  P∧  Q∧  R)) ∨ (P∧ Q∧R) m0∨m1∨m2∨m7 M3∨M4∨M5∨M6 三、推理 明 （ 10 分） 1） C∨ D, (C ∨D) E, E (A∧ B), (A ∧ B) (R 明（ 1） xP(x) ∨ S) R∨ S (2)P(a) 明： (1) (C ∨D) E (3) x(P(x) Q(y) ∧R(x)) (2) E (A ∧ B) (4)P(a) Q(y) ∧R(a) (3) (C ∨ D) (A∧ B) (5)Q(y) ∧R(a) (4) (A ∧ B) (R ∨S) (6)Q(y) (5) (C ∨ D) (R∨ S) (7)R(a) (6) C ∨D (8)P(a) (7) R ∨S (9)P(a) ∧R(a) 2) x(P(x) Q(y) ∧ R(x)) ， xP(x) Q(y) ∧ x(P(x) ∧ (10) x(P(x) ∧ R(x)) R(x)) (11)Q(y) ∧ x(P(x) ∧R(x)) 四、 是一个取定的正整数， 明：在任取 ＋ 1 个整数中，至少有两个整数，它 的差是 的整数倍 m m m 明 a1 ， a2 ，?， a m 1 任取的 ＋ 1 个整数，用 去除它 所得余数只能是 0，1，?， － 1，由抽 原理可知， m m m a1 ， a2 ，?， am 1 m＋ 1 个整数中至少存在两个数 as 和 at ，它 被 m除所得余数相同，因此 as 和 at 的差是 m的整 数倍。 五、已知 A、 B、C 是三个集合， 明 A-(B ∪C)=(A-B) ∩(A-C) （15 分） 明 ∵x A- （B∪ C） x A∧x （B∪C） x A∧（ x B∧x C） （ x A∧ x B）∧（ x A∧ x C） x （ A-B）∧ x （ A-C） x （A-B）∩（ A-C）∴ A-（ B∪ C）=（A-B）∩（ A-C） 六、已知 R、 S 是 N 上的关系，其定 如下： R={<x,y>| x,y N∧ y=x2 } ，S={<x,y>| x,y N∧y=x+1} 。求 R-1 、 R*S、 S*R、 R {1,2} 、 S[{1,2}] （10 分） 解： R-1 ={<y,x>| x,y N∧y=x 2} ，R*S={<x,y>| x,y N∧y=x 2+1} ， S*R={<x,y>| x,y N∧ y=（ x+1） 2} ， 七、若 f:A →B 和 g:B →C 是双射， （ gf ） -1 =f -1 g-1 （10 分）。 证明：因为 f 、g 是双射，所以 gf ：A→C 是双射，所以 gf 有逆函数（ gf ）-1 ：C→ A。同理可推 f -1 g-1 ： C→A 是双射。 因为 <x,y> ∈f -1 g-1 存在 z（<x,z> ∈g-1 <z,y> ∈f -1 ） 存在 z （<y,z> ∈ f <z,x> ∈g） <y,x> ∈gf <x,y> ∈（ gf ） -1 , 所以（ gf ）-1 =f -1 g-1 。 R {1,2}={<1,1>,<2,4>}， S[{1,2}]={1,4} 。 八、（ 15 分）设 <A， *> 是半群，对 A 中任意元 a 和 b，如 a≠b 必有 a* b≠ b* a，证明： 对 A 中每个元 a，有 a* a＝ a。 对 A 中任意元 a 和 b，有 a* b*a＝ a。 对 A 中任意元 a、b 和 c，有 a* b* c＝a* c。 证明