输入过程和服务时间分布.ppt

1 主要输入过程有： 定长输入、泊松输入、爱尔朗输入 第二节 输入过程和服务时间分布 一、输入过程 输入过程是描述各种类型的顾客以怎样的规律 到达系统，一般用相继两顾客到达时间间隔 ? 来描述 系统输入特征。 2 1 ． 定长输入 这是指顾客有规则地等距到达，每隔时间 到达一个顾客。这时相继顾客到达间隔 ? 的分 布函数 F(t) 为 ： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? t t t P t F , 0 , 1 } { ) ( (4-2) 例如，生产自动线上产品从传送带上进入包装 箱就是这种情况． 3 平稳性 无后效性 单个性 泊松输入 的三条件 2 、泊松 (poisson) 输入 --- 最简单流 4 (1) 平稳性 。又称作输入过程是平稳的。 指在长度为 t 的时段内恰好到达 k 个顾客的概率 仅与时段长度有关，而与时段起点无关。 (2) 无后效性 。指在任意几个不相交的时间 区间内，各自到达的顾客数是相互独立的。即 以前到达的顾客情况，对以后顾客的到来没有 影响。否则就是关联的。 (3) 单个性又称普通性 。指在充分小的时段 内最多到达一个顾客。 因为泊松流实际应用最广，也最容易处理， 因而研究得也较多． 5 其中参数 ? >0 为一常数，表示单位时间内 到达顾客的平均数，又称为顾客的平均到 达率。 ! ) ( ) ( K t e t V K t k ? ? ? ? ? , 2 , 1 , 0 ? K （ 4-3 ） 对于泊松流，在长度为 t 的时间内到达 K 个顾客的概率 vk ( t ) 服从泊松分布，即 6 对于泊松流，不难证明其相继顾客 到达时间间隔 ? i ， i =1,2, … 是相互独立同 分布的，其分布函数为负指数分布： （ 4-4 ） ? ? ? ? ? ? ? ? 0 , 0 0 , 1 ) ( t t e t F t i ? ? ) , 2 , 1 ( ? ? i 7 3. 爱尔朗输入 . 这是指相继顾客到达时间间隔 ? 相互独立， 具有相同的分布，其分布密度为 （ 4-5 ） 其中 k 为非负整数。 其分布密度为： 0 )! 1 ( ) ( ) ( 1 ? ? ? ? ? t e K t t a t K ? ? ? 8 例某排队系统有并联的 k 个服务台，顾 客流为泊松流，规定第 i , K + i ,2 K + i … 个顾客排 入第 i 号台 ( i =1,2, … , K ) ，则第 K 台所获得的顾 客流，即为爱尔朗输入流，其他各台，从它 的第一个顾客到达以后开始所获得的流也为 爱尔朗输入流。 此外，爱尔朗分布中，当 K ＝ 1 时将化为 负指数分布。 0 )! 1 ( ) ( ) ( 1 ? ? ? ? ? t e K t t a t K ? ? ? 9 4. 一般独立输入 。即相继顾客到达 时间间隔相互独立、同分布，分布函数 F ( t ) 是任意分布，因此，上面所述的所 有输入都是一般独立分布的特例。 5. 成批到达的输入 。这时排队系统 每次到达的顾客不一定是一个，而可能 是一批，每批顾客的数目 n 是一个随机 变量。 10 二、服务时间分布 主要服务时间分布有： 定长分布、负指数分布、爱尔朗分布 11 1 ．定长分布 每一个顾客的服务时间 都是常数 ，此时服务时间 t 的分布函数 为： （ 4-7 ） ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? x x x t P x B 0 1 ) ( ) ( 12 2 ．负指数分布 即各个顾客的服务时间相互独立，具有相同 的负指数分布： (4-8) 其中 ? > 0 为一常数，服务时间 t 的数学期望称为 平均服务时间。显然，对于负指数分布 ? ? ? ? ? ? ? ? 0 , 0 0 , 1 ) ( x x e x B x ? 13 ? ? ? ? ? ? ? ? 0 0 1 ) ( ) ( ? ? dx xe x xdB t E mx (4-9) 14 即每个顾客的服务时间相互独立，具有 相同的爱尔朗分布。其密度函数为 其中 ? > 0 为一常数，此种的平均服务时间为： K =1 时爱 尔 朗 分 布 化 归 为 负 指 数 分 布 ， 当 K →∞ 时，得到长度为 1/ ? 的定长服务。 (4-10) 0 , )! 1 ( ) ( ) ( 1 ? ? ? ? ? x e k x k k x b x k k ? ? ? ? ? ? ? 0 1 ) ( ) ( ? dx x xb t E (4-11) 3. 爱尔朗分布 15 4. 一般服务分布 。所有顾客的服务 时间都是相互独立具有相同分布的随机 变量，其分布函数记 B ( X ) ，前面所述的 各种服务分布都是一般服务分布的特例。 5. 多个服务台的服务分布 。可以假 定各个服