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2018 年全国各地中考数学压轴题汇编 (湖南专版 )
几何综合
参考答案与试题解析
1 .( 2018?长沙 )如图 ,在△ABC 中,AD 是边 BC 上的中线 ,∠BAD= ∠CAD ,CE∥
AD ,CE 交 BA 的延长线于点 E,BC=8 ,AD=3 .
(1)求 CE 的长 ;
(2 )求证 :△ABC 为等腰三角形 .
(3 )求 △ABC 的外接圆圆心 P 与内切圆圆心 Q 之间的距离 .
(1)解 :∵AD 是边 BC 上的中线 ,
∴BD=CD ,
∵CE∥AD ,
∴AD 为△BCE 的中位线 ,
∴CE=2AD=6 ;
(2 )证明 :∵CE∥AD ,
∴∠BAD= ∠E,∠CAD= ∠ACE,
而 ∠BAD= ∠CAD ,
∴∠ACE= ∠E,
∴AE=AC ,
而 AB=AE ,
.专业资料 .
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∴AB=AC ,
∴△ABC 为等腰三角形 .
(3 )如图 ,连接 BP、BQ、CQ,
在 Rt△ABD 中,AB= =5 ,
设⊙P 的半径为 R,⊙Q 的半径为 r ,
2 2 2
在 Rt△PBD 中,( R ﹣3 ) +4 =R ,解得 R= ,
∴PD=PA ﹣AD= ﹣3= ,
∵S +S +S =S ,
△ABQ △BCQ △ACQ △ABC
∴ ?r?5+ ?r?8+ ?r?5= ?3?8 ,解得 r= ,
即 QD= ,
∴PQ=PD+QD= + = .
答 :△ABC 的外接圆圆心 P 与内切圆圆心 Q 之间的距离为 .
2 .( 2018?株洲 )如图 ,在 Rt△ABM 和 Rt△ADN 的斜边分别为正方形的边 AB 和 AD ,
其中 AM=AN .
(1)求证 :Rt△ABM ≌Rt△AND ;
(2 )线段 MN 与线段 AD 相交于 T ,若 AT= ,求 tan ∠ABM 的值 .
.专业资料 .
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解 :( 1)∵AD=AB ,AM=AN ,∠AMB= ∠ AND=90 °
∴Rt△ABM ≌Rt△AND (HL).
(2 )由 Rt△ABM ≌Rt △AND 易得 :∠DAN= ∠BAM ,DN=BM
∵∠BAM+ ∠ DAM=90 °;∠DAN+ ∠ADN=90 °
∴∠DAM= ∠AND
∴ND ∥AM
∴△DNT ∽△AMT
∴
∵AT= ,
∴
∵Rt△ABM
∴tan ∠ABM= .
3 .( 2018?长沙 )我们不妨约定 :对角线互相垂直的凸四边形叫做 十字形“ ”.
(1)① 在 “平行四边形 ,矩形 ,菱形 ,正方形 ”中,一定是 “十字形 ”的有 菱形 ,正方
.专业资料 .
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形 ;
②在凸四边形 ABCD 中,AB=AD 且 CB≠CD,则该四边形 不是 十字形“ ”.(填 是“ ”
或 “不是 ”)
(2 )如图 1,A ,B,C,D 是半径为 1 的⊙O 上按逆时针方向排列的四个动点 ,AC 与
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