人教版编号3选修2 1313空间向量的数量积运算.ppt

制作人 高洪梅 学习目标 本节课主要学习空间向量夹角的概念及表示方法 , 空间向量数 量积的运算性质及运算律 ；同时探究空间几何图形，将几何问 题代数化，提高分析问题、解决问题的能力 . 复习回顾： 1 复 习 空间向量的数乘运算 2 3 4 共面向量 共面向量定理 判定空间中三点 A 、 B 、 C 共 线的常用方法 新课导入： ? ?? F ? s W = | F | | s | cos ? 根据功的计算 , 我们定义了平面两向量的数量积运算 . 一旦 定义出来 , 我们发现这种运算非常有用 , 它能解决有关长度 和角度的问题 . 探究活动一： 两空间向量的夹角 ? ? ， b ，在空间任取一点 如图，已知两个非零向量 a O ， ? ? ??? ? ? ??? ? ? ? AOB a ， b OA ? a , OB ? b ? ? 作 ，则 叫做向量 的夹角， ? a ， b ? 记作： ? a ? ? ⑴ 范围 : 0 ≤ ? a , b ? ≤ ? . ? ? ? ? ⑵ ? a , b ? ＝ ? b , a ? . ? a ? b O A ? ? ? ? ? ? ? ⑶ 如果 ? a , b ? ? , 那么向量 a , b 互相 垂直 , 记作 a ? b . 2 ? b B ? ? ? ? ? ? 已知两个非零向量 a , b , 则 a b cos ? a , b ? ? ? ? ? 叫做 a , b 的数量积 , 记作 a ? b . ? ? ? ? ? ? 即 a ? b ? a b cos ? a , b ? . 探究活动二： 两个向量的数量积 注 : ① 两个向量的数量积 是数量 ，而 不是向量 . ② 规定 : 零向量与任意向量的数量积都等于零 . A A 1 a b B 1 B ? ? 类比平面向量 , 你能说出 a ? b 的几何意义吗 ? ????? ? ? 如图 A 1 B 1 是 b 在 a 方向上的射影向量 . 探究活动三： 空间两个向量的数量积的性质 ? ? 显然 , 对于非零向量 a , b , 有下列性质 : ? ? ? ? ① a ? b ? a ? b ? 0; ? 2 ? ? ? ② a ? a ? a ，也就是说 a ? ? 2 a . 注： 性质①是证明两向量垂直的依据； 性质②是求向量的长度（模）的依据 . 探究活动四： 空间向量的数量积满足的运算律 ? ? ? ? ⑴ ( ? a ) ? b ? ? ( a ? b ) . ? ? ? ? ⑵ a ? b ? b ? a ( 交换律 ). ? ? ? ? ? ? ? ⑶ a ? ( b ? c ) ? a ? b ? a ? c ( 分配律 ). 注： 向量的数量积运算类似于多项式运算 , 平 方差公式、完全平方公式、十字相乘等均成立 . 应用训练： 例 1 在平面内的一条直线 , 如果和这个平面的一条斜 线的射影垂直 , 那么它也和这条斜线垂直 . 已知 : 如图 , PO , PA 分别是平面 ? 的垂线、斜线， AO 是 PA 在 平面 ? 内的射影， l ? ? ，且 l ? OA . 求证： l ? PA . 分析： 用向量来证明两直 线垂直，只需证明两直线 的方向向量的数量积为零 即可！ ? ? P ? A O ? O ? l P O ? ? , A O 为 射 影 , l ? ? , 且 l ? O A 如图 , 已知 : l ? P A 求证： ? ??? ? ? 在直线 l 上取向量 a , 只要证 a ? PA ? 0 证明： ? ??? ? ? ??? ? ? P ? a ? PO ? 0 , a ? OA ? 0 ? ??? ? ? ??? ? ??? ? ? ? a ? PA ? a ? ( PO ? OA ) a O ? ? A ? ??? ? ? ??? ? ? a ? PO ? a ? OA ? 0 ? ?? ? ? ? a ? PA , 即 l ? PA. ? l 逆命题成立吗 ? 三垂线定理 ：在平面内的一条直线 , 如果和这个平面的一 条斜线的射影垂直 , 那么它也和这条斜线垂直 . 三垂线定理的逆定理 ：在平面内的一条直线 , 如果和这个平 面的一条斜线垂直 , 那么它也和这条斜线在平面内的射影垂 直 . ? P ? O ? ? A l ? a 同学们：你们能不 能证明三垂线定理 的逆定理吗？ 例 2 已知直 线 m , n 是平面 ? 内 的 两条 相交直 线 , 如果 l ? m , l ? n , 求 证 : l ? ? . 分析： 要证明一条直线与一个平面垂直 l ? g l n , 由直线与平面