课题：8.4双曲线的简单几何性质(一)..docx

课 题 :8. 4 双曲线的简单几何性质 (一 教学目的 : 12.掌握标准方程中 c b a , , 3并.使学生能利用上述知识进行相关的论证、计 算、作双曲线的草图以及 教学重点 :教学难点 :授课类型 :新授课 课时安排 :1 课时 教 具 :多媒体、实物投影仪 内容分析 : 本节知识是讲完了双曲线及其标准方程之后 , 反过来利用双曲线的方程研究 它是教学大纲要求学生必须掌握的内容 ,也是高考的一个 用坐标法研究几何问题 ,是数学中一个很大的课题 ,它包含了圆锥曲线 知识的众多方面 ,这里对双曲线的几何性质的讨论以及利用性质来解题即是其 中的一个重要部分 坐标法的教学贯穿了整个 “圆锥曲线方程 ”一章 ,是学生应重点掌握的基 运动变化和对立统一的思想观点在第 8 章知识中得到了突出体 利用图形启发引导学生理解渐近线的几何意义、弄通证明的关键 ;渐近线 的位 置、渐近线与双曲线张口之间的关系是学生学习离心率的概念、搞懂离心 本节内 容类似于 “椭圆的简单的几何性质 ”教,学中也可以与其类比讲解 , 对圆锥曲线来说 , 渐近线是双曲线特有的性质 , 我们常利用它作出双曲线的草图 ,为说明这一点 ,教学时可以适当补充一些例 讲解完双曲线的渐近线后 ,要注意说明 :反过来以 1=±b y a x 为渐近 线的双曲线方程则是 =-22 22b y a x 对双曲线离心率进行教学时要指明它的大小反映的是双曲线的张口大小 , 同椭圆一样 ,双曲线有两种定 义 ,教材上以例 3 的教学来引出它 ,我们讲课时要充分注意到此例题与后面的 本节分三个课时 :第一课时 主要讲解双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线 等几何性质 ,并补充一道变式例题 ; 第二课时 主要内容为离心率、教材中的例1、 例 2 及一道变式例题 ; 第三课时 主要讲解教材中的例 3、 双曲线另一个定义、 教学过程 : 二、讲解新课 : 1.范围、对称性 由标准方程 122 22=-b y a x 可得 22a x ≥,当a x 时≥, y 才有实数值 ;对于 y 的任何值 , x 这说明从横的方向来看 ,直线 x=-a,x=a 之间没有 图象 ,从纵的方向来看 ,随着 x 的增大 , y 的绝对值也无限增大 ,所以曲线在 2.顶点 顶点 :(0, , 0, (21a A a A - 特殊点 :(b B b B -, 0, , 0(21 实轴 :21A A 长为 2a, a叫做 虚轴 :21B B 长为 2b , b 叫做 虚半轴长 讲述 :结合图形 ,讲解顶点和轴的概念 ,在双曲线方程 122 22=-b y a x 中,令 y=0 得 a x =,±故它与 x 轴有两 个交点 (0, , 0, (21a A a A -, 且 x 轴为双曲线 12 2 22=-b y a x 的对称轴 ,所 以 (0, , 0, (21a A a A -与 其 对称轴的交点 ,称为双曲线 的顶点 (一般而言 , 点间的线段 21A A 叫做双曲线 122 22=-b y a x 的实轴长 ,它的长是 2a. 在方程 12222=-b y a x 中令 x=0 得 2 2b y -=,这个方程没有实数根 ,说明双 曲线和 Y 轴没有交点。但 Y 轴上的两个特殊点 (b B b B -, 0, , 0(21,这两个点在把线段 21B B 叫做双曲线的虚轴 ,它的长是 3.渐近线 过双曲线 122 22=-b y a x 的两顶点 21, A A , 作 Y 轴的平行线 a x =,±经过 21, B B 作 X 轴的平行线 b y =,±四条直线围 矩形的两条对角线所在 直线方程是 x a b y ± =(0= ±b y a x , 分析 :要证明直线 x a b y ± =(0= ±b y a x 是双曲线 122 22=-b y a x 的渐近线 ,即要证明 随着 X 也即要证曲线上的点到直线的距离 |MQ | 越来越短 ,因此把问题转化为计算 |MQ 但因 |MQ |不好直接求得 ,因此又把问题 转化为求 |MN 最后强调 ,对圆锥曲线 22||||a x a b x a b MN MQ --= = (22a x x a b -- 2 2 a x x ab -+= (||MQ 0-- → - ∞ → x 4.等轴双曲线 a=b 结合图形说明 :a=b时 ,双曲线方程变成 222a y x =-(或 2 ,它的实轴和都 等于 2a(2b,这时直线围成正方形 ,渐近线方程为 x y =±它们互相垂直且 5.共渐近线的双曲线系 如果已知一双曲线的渐近线方程为 x a b y ± 0( ±=k x ka kb ,那么此双曲 线方程就一定是 : 0(1 ( (2222 =-