自旋与全同粒子.docx

§ 7.1电子的自旋 一、提出电子自旋的依据 i=i? ■ ■1、1912年反常塞曼效应，特别是氢原子的偶数重磁场谱线 i=i ? ■ ■ 分裂，无法用轨道磁矩与外磁场相互作用来解 为这只能分裂谱线为(2n+l)重，即奇数重。 2、原子光谱的精细结构o比如，对应于氢原子2p-ls的 跃迁存在两条彼此很靠近的两条谱线，碱金属原子光谱也 存在双线结构等 3、斯特恩一盖拉赫实验(1922年) 基态银原子束通过不均匀磁场后，分离成朝相反方向 的两束。如图：  结论：除具有轨道角动量外，电子还应具有自旋角动量。 自旋是一种相对论量子效应，无经典对应。 二、电子自旋的假设 针对以上难以解释的实验现象，1925年乌仑贝克和高德 施密特提出假设： 每个电子具有自旋角动量，它在空间任何方向上的投 影只能取两个数值： h =±5； (7-1-1) 每个电子具有自旋磁矩Ms,它和自旋角动量S的关系是 Ms Ms =-—f,(CGS) (7.1-2) Ms在空间任意方向上的投影只能取两个数值： e方 、=±厂=±印) / (7.1-3) Msz =±《- = ±Mw(CGS) IjLtC Mg玻尔磁子。 由(7.1-2)式，电子自旋磁矩和自旋角动量之比是 - = --,(SZ); = 一 ￡,(CGS) (7.1-4) S, 4 sz pc 这个比值称为电子自旋的回转磁比率。我们知道： 2*即轨道运动的回转磁比率是- (SI )；- (CGS X因而自旋回2 ju 2uc转磁比率等于轨道运动回转磁庄率的两倍o商 l 2* 即轨道运动的回转磁比率是- (SI )；- (CGS X因而自旋回 2 ju 2uc 转磁比率等于轨道运动回转磁庄率的两倍o 2ju Ifjc § 7.2电子自旋算符和自旋函数 电子具有自旋角动量这一特性纯粹是量子特性，它不可 能用经典力学来解释。电子的自旋是相对论效应，严格处理 应当用Dirac方程，我们这里，在非相对论量子力学中是作 唯象处理。 一、自旋算符 1.自旋角动量满足的对易关系 =点 + 成,￡]=的￡ 区,￡]=沥 (7.2 - 2) [Sz9Sx] = ifiSy 电子作为角动量应满足上面的作为角动量定义的对易关系O 引入=s；+sj+s； 则有:[￡彳2] = [￡彳2]=[禺,] = 0 2- sq=s；=§ 由杯在任何方向的投影只育甄两个值±; 所以,，,，的本征值都只能有两个直土 | 方2 则 s：=s；=s：=3 上面两条完全确定了电子自旋算符。 二、泡利算符(1)定义：zxS?ti八 二、泡利算符 (1)定义： zx S? =—b 2 * ti = (7.2 - 6) =——b 2 z (2)性质 (A)对易关系 将(7.2-6)式代入(7.2-1)式，得到片所满足的对易关系: [crx.(ry] = 2iaz [气】=25 /\rx or = 2i6(7.2 一 7)[az.ax] = 2iay /\ rx or = 2i6 (7.2 一 7) （B）药（单位算符七 2 证明.?良,房,身的本征值都尊二艮|Js；=s；=s；=M 4 ，幻 4 的本征值都岛 即b=e=b=i 算符在自表象中的矩曜对角矩阵 对角元素即本征值 于是亢，名，可在自身表象中都是单便阵。 单位矩阵在表象变换巽不变的即s+is =1 所以有= （Ty = ￡ = 1 (C)反对易关系 bxby+bybx=O V z + %% H 0 U + bx，z = 0 证明:至x^y-#y1x=2iE 用丸左乘上式两边,22, -分=2沽》丸 用 成右乘上式两边笊去笊-去=2沽q. 在把两式相加 +在笊=0 同样可以证明另外两式. 3、矩阵表示 上面我们引入了自旋算符，并讨论了它的代数，在适当 表象中，可以将它们表示成矩阵。 习惯上选取Sz表象(即叱 表象)。今后不再声明。 (1)泡利矩阵 对角元素即算符算符在自身表象中的矩阵是对角矩阵, 对角元素即算符 的本征值。 Sz = rrI=° rr I = ° % i = 2 2； 0、 一L 方 分别屋=±3的本征矢量, 于是，B = a为厄米矩阵：入 人 ?**v 则 crx = 方、 ro，、 0/ CT _ 0 o. —b=c 方、(7.2-16) 方、 (7.2-16) 而 尺=1亦即 0 b、 1 o 幻 1 C =1 二 — el 习惯上取a=0,于是得到: 0 ) _ p 0、 J 0 …0 J (7.2-17) 再由对易关系式 再由对易关系式 /\ /\ /\ /\ ? 一 joy = 2iy 1 0、 ° -1 得到的泡利矩阵是(7.2-20)(7.2-21) 得到的泡利矩阵是 (7.2-20) (7.2-21) (2)电子自旋角量子数S=l/