立体几何中的向量方法[四](20201230211707).docx

3.2立体几何中的向量方法 求两点间的 距离 引入 课本例3 练习3 例1的思考 (3)再尝试 练习题 立体几何中的向量方法（四） 向量彼解立体几何问题的优点: 思路容易找，甚至可以公式化； 一般充分结合图形发现向量关系或者求出 （找出）平面的法向量、直线的方向向量，利用这 些向量借助向量运算就可以解决问题. 不需要添辅助线和进行困难的几何证明; 若坐标系容易建立，更是水到渠成. 用向量法解空间图形问题 课本第114页例1的思考⑶的再尝试: 已知平行六面体ABCD—A^C^中Al】=AB = AD = 1 且 ZBAD = ZBAAl =ZDAA, =60° 求点Al到底面abcd的距离. 分析:有现成的AA],只要再找出平面的一个 法向量即可！怎么我？ 注意到任一向都可以用基向量菖.AB.AD 来表示，可考虑用待定系数法找一个法向量. 用向量法解空间图形问题 课本第116页练习2的思考：（求两点间的距离向量法思路） 如图,60°的二面角的棱上有4、8两点，直线AC、切分别 在这个二面角的两个半平面内，且都垂直48,已知48=4, AC= 6,BD=8,求CQ的长. 分析:要求CZ）的长可以转化为求 位的模的大小. 一 怎么求|cd|呢？显然直接求|而|出不来，这时可以 结合图形发现勿用其他已知向量来表示的关系式，从 而求|苞|转化为其些知向量的运算使问题获解. 由酉可知CD = CA + AB + BD 有了！ 注:利用本题中的向量关系我们还可以倒过来求二 面角的大小.例如课本第115页例2 用向量法解空间图形问题课本例2.如图甲站在水库底面上的点 用向量法解空间图形问题 课本例2.如图甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B 处。从A, B到直线，（库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为 日和切CD的长为g AB的长为次.求库底与水坝所成二面角的余弦值. P B C 化为向量问题 由图可知有向量关系 进行向量运算尝试 i 一 m — "■ aswtea 求解目标:库底与水坝所更的三声角单箜契1即瓦与而的夹角的余弦值? CA DB CA DB ,?.?只要求出瓦而即可. ,DB）= _, |_|一/ CA .|z>b|刚才的式子把有关数据代入就能求出瓦? ,DB）= _, |_|一 / CA .|z>b| 刚才的式子把有关数据代入就能求出瓦?应，搞定! . COS 用向量法解空间图形问题 课本第115页例2的思考(2) U!如果已知一个四棱柱的各棱长和一条对角 线的长，并且以同一顶点为端点的各棱间的 夹角都相等，那么可以确定各棱之间夹角的 余弦值吗？ U! A分析：如图，设以顶点A为端点的对角线 长为弓 三条棱长分别为a,b,c,各棱间夹角为°。 A 课本第115页的思考(3) 如果已知一个四棱柱的各棱长都等于,并且以某一顶点为端 !1!节1 TOC \o "1-5" \h \z 点的各棱间的夹角都誓于，那么可以确定这个四棱特邻两个面 夹角的余弦值吗？ D1 !1! 节 1 分析：二面角=平面角=向量的夹角F归图形' 解：如图，在平面ABi内过Ai作 A〔E_LAB于点E,在平面AC内作CF±AB于fK； r c c 15 r _ AJE CF "lAEIICFI = 1￥广 C q/Q 1￥ 九辰?.?可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值。 思考课本第116页例3 如图，一块均匀的正三角形面的钢板的质量为500耘, 在它的顶点处分别受力瓦、冗、仄，每个力与同它相邻的 三角形的两边之间的夹角都是60。, |可=|可=同=200始■这块钢板在这些力的作用下将会怎 样运动？这三个力最小为多大时，才能提起这块钢板? 米史殳标家怎么解V A分析:钢板所受重力的大 小为500炊，垂直向下作用在 三角形的中心。二如奥能■各 顶点出所受的力瓦、瓦、冗用 米史殳标家怎么解V A 解:如图，以点A为原点，平面ABC xAy坐标平面，应方向为y轴正方向,|商| 为)' 轴的单位长度，建立空间直角坐标系Afz，则正三角形的顶点坐标分别为 A(0,0,0), B(0,l,0), C(-巫,二0)设瓦方向上的单位向量坐标为财⑵，俨 2 2 . 由于瓦与而，衣的夹角均为60。， cos60° = —= (x,j ?0)① ) j j 八 X7x2 + /+z2=l? 2 ? < 'Cc 1 由①②③可解得x - > y = ~> z 2 2 cos60° =^ = (x,j ,z)?(0,1,0) ② 一 T it 2 Fi = f ' 12 " 2 同法可求得F2 = 200(-? J~)? & = 200(-福，。，\1三) V 匕 v。 V Q V。 12 合力** = 200 (-片！ 这说明，作用在扇板的合