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二项式定理及典型试题 二项式定理及典型试题 知识点 知识点一：二项式定理 　 二 项 式 定 理 ： ， 　　其中： 　①公式右边的多项式叫做 的二项展开式； 　　②展开式中各项的系数 叫做二项式系数； 　　③式中的第 r+1 项叫做二项展开式的通项，用 表示；二项展开式的通项公式为 . 知识点二：二项展开式的特性 　　①项数：有 n+1 项； 　　②次数：每一项的次数都是 n 次，即二项展开式为齐次式； 　　③各项组成：从左到右，字母 a 降幂排列，从 n 到 0 ；字母 b 升幂排列，从 0 到 n ； 　　④系数：依次为 . 知识点三：二项式系数的性质 　　①对称性：二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等 　　②单调性：二项式系数在前半部分逐渐增大，在后半部分逐渐减小，在中间取得最大值. 其中，当n 为偶数时，二项展开式中间一项的二项式系数 最大；当n 为奇数时，二项展 开式中间两项的二项式系数 ， 相等，且最大. 　　③二项式系数之和为 ，即 　　　其中，二项展开式中各奇数项的二项式系数之和等于各偶数项的二项式系数之和， 　　　即 经典例题 1、“(a  b)n 展开式 1 例 1．求(3 x  )4 的展开式； x 4 3x  1 4 (3x  1) 1 0 4 1 3 2 2 3 4 解：原式= ( ) = 2 = 2 [C4 (3x)  C4 (3x)  C4 (3x)  C4 (3x)  C4 ] x x x 12 1 = 81x 2  84x    54 2 x x 第 1 页第 1 页 二项式定理及典型试题 1 【练习 1】求(3 x  )4 的展开式 x 2.求展开式中的项 1 例 2.已知在( 3 x  )n 的展开式中，第 6 项为常数项. 2 3 x （1） 求 n； （2）求含x 2 的项的系数；（3）求展开式中所有的有理项. nr r n2r 1  1 解：（1）通项为 r 3 r 3 r r 3 T  C x ( ) x  ( ) C x r 1 n n