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圆锥曲线的解题技巧
一、常规七大题型:
(1)中点弦问题
具有斜率的弦中点问题,常用设而不求法(点差法):设曲线上两点为(,)xy11,(,)xy22,代入方程,然后两方程相减,再应用中点关系及斜率公式(当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论),消去四个参数。
如:(1 ))0(12222????babyax与直线相交于A、B,设弦AB中点为M(x0,y0) ,则有02020??kbyax。
(2 ))0,0(12222????babyax与直线l相交于A、B,设弦AB中点为M(x0,y0) 则有02020??kbyax
(3)y2=2px(p>0)与直线l相交于A、B设弦AB中点为M(x0,y0),则有2y0k=2p,即y0k=p.
典型例题 给定双曲线xy2221??。过A(2,1)的直线与双曲线交于两点P1 及P2,求线段P1P2的中点P的轨迹方程。
(2)焦点三角形问题
椭圆或双曲线上一点P,与两个焦点F1、F2构成的三角形问题,常用正、余弦定理搭桥。
典型例题 设P(x,y) 为椭圆xayb22221??上任一点,Fc10(,)?,Fc20(,)为焦点,??PFF12?,??PFF21?。
(1 )求证离心率????sinsin)sin(???e;
(2)求|||PFPF1323?的最值。
(3)直线与圆锥曲线位置关系问题
直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组,进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理,应特别注意数形结合的思想,通过图形的直观性帮助分析解决问题,如果直线过椭圆的焦点,结合三大曲线的定义去解。
典型例题
抛物线方程,直线与轴的交点在抛物线准线的右边。ypxpxytx210?????()()
(1)求证:直线与抛物线总有两个不同交点
(2)设直线与抛物线的交点为A、B,且OA⊥OB,求p关于t的函数f(t)的表达式。
(4)圆锥曲线的相关最值(范围)问题
圆锥曲线中的有关最值(范围)问题,常用代数法和几何法解决。
<1>若命题的条件和结论具有明显的几何意义,一般可用图形性质来解决。
<2>若命题的条件和结论体现明确的函数关系式,则可建立目标函数(通常利用二次函数,三角函数,均值不等式)求最值。
(1),可以设法得到关于a的不等式,通过解不等式求出a的范围,即:“求范围,找不等式”。或者将a表示为另一个变量的函数,利用求函数的值域求出a的范围;对于(2)首先要把△NAB的面积表示为一个变量的函数,然后再求它的最大值,即:“最值问题,函数思想”。
最值问题的处理思路:
1、建立目标函数。用坐标表示距离,用方程消参转化为一元二次函数的最值问题,关键是由方程求x、y的范围;
2、数形结合,用化曲为直的转化思想;
3、利用判别式,对于二次函数求最值,往往由条件建立二次方程,用判别式求最值;
4、借助均值不等式求最值。
典型例题
已知抛物线y2=2px(p>0),过M(a,0)且斜率为1的直线L与抛物线交于不同的两点A、B,
|AB|≤2p
(1)求a的取值范围;(2)若线段AB的垂直平分线交x轴于点N,求△NAB面积的最大值。
(5)求曲线的方程问题
1.曲线的形状已知--------这类问题一般可用待定系数法解决。
典型例题
已知直线L过原点,抛物线C 的顶点在原点,焦点在x轴正半轴上。若点A(-1,0)和点B(0,8)关于L的对称点都在C上,求直线L和抛物线C的方程。
2.曲线的形状未知-----求轨迹方程
典型例题
已知直角坐标平面上点Q(2,0)和圆C:x2+y2=1, 动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数?(?>0),求动点M的轨迹方程,并说明它是什么曲线。
(6) 存在两点关于直线对称问题
在曲线上两点关于某直线对称问题,可以按如下方式分三步解决:求两点所在的直线,求这两直线的交点,使这交点在圆锥曲线形内。(当然也可以利用韦达定理并结合判别式来解决)
典型例题 已知椭圆C 的方程xy22431??,试确定m的取值范围,使得对于直线yxm??4,椭圆C上有不同两点关于直线对称
(7)两线段垂直问题
M
N
Q
O
圆锥曲线两焦半径互相垂直问题,常用kkyyxx1212121···???来处理或用向量的坐标运算来处理。
典型例题 已知直线l的斜率为k,且过点P(,)?20,抛物线Cyx:()241??,直线l与抛物线C有两个不同的交点(
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