1.3.1《辗转相除法与更相减损术》教案新人教版A必修3正式版.docx

高一数学必修 3导学案(教师版 ) 编号 1.3.1 辗转相除法与更相减损术 周次 月 日 新授课 主备人 使用人 上课时间 课型 周 课题 1.3.1 辗转相除法与更相减损术 教学 1. 理解辗转相除法与更相减损术中蕴含的数学原理，并能根据这些原理进行算法分析； 目标 2. 能根据算法语句与程序框图的知识设计完整的程序框图并写出算法程序 . 教学 理解辗转相除法与更相减损术求最大公约数的方法 重点 教学辗转相除法与更相减损术的方法转换成程序框图与程序语言 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 难点 课前 多媒体课件 准备 教学过程： 一、〖创设情境〗 1. 在初中，我们已经学过求最大公约数的知识，你能求出 18 与 30 的公约数吗？ 2 我们都是利用找公约数的方法来求最大公约数，如果公约数比较大（如求 8251 与 6105 的最大公约数）而且根据我们的观察又不能得到一些公约数，使用上述方法求最大公约数 就比较困难，我们又应该怎样求它们的最大公约数？这就是我们这一节课所要探讨的内容 . 二、〖新知探究〗 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （一）辗转相除法 例 1 求 8251 和 6105 的最大公约数 . 分析： 8251 与 6105 两数都比较大，而且没有明显的公约数，如能把它们都变小一点，根据已有的知识即可求出最大公约数 . 解： 8251＝ 6105× 1＋2146 由此可得， 6105 与 2146 的公约数也是 8251 与 6105 的公约数，同样 8251 与 6105 的公约数 也是 6105 与 2146 的公约数，所以它们的最大公约数相等 . 重复上述步骤： 6105＝ 2146× 2＋ 1813 2146＝ 1813× 1＋ 333 1813＝ 333×5＋ 148 333＝ 148× 2＋ 37 148＝ 37× 4＋ 0 则最后的除数 37 就是 148 和 37 的最大公约数，也就是 8251 与 6105 的最大公约数 . 以上我们求最大公约数的方法就是 辗转相除法 , 也叫 欧几里德算法 ，它是由欧几里德在公元前 300 年左右首先提出的 . 〖思考〗：你能把辗转相除法编成一个计算机程序吗？ 算法步骤如下： 第一步：给定两个正整数 m ， n . 第二步：计算 m 除以 n 所得的余数 r . 第三步： m n， n r . 第四步：若 r 0 ，则 m ， n 的最大公约数等于 m ；否则，返回第二步 . 程序框图： 程序： UNTIL 型语句 INPUT m,n=; m, n DO r = m MOD n m = n n = r LOOP UNTIL r = 0 PRINT m END WHILE型语句 INPUT m,n=; m, n r = m MOD n WHILE r 0 r = m MOD n m = n n = r WEND PRINT m END 〖思考〗：你能用当型循环结构构造算法，求两个正整数的最大公约数吗？试写出算法步骤、程序框图和程序 . 随堂练习： 1. 利用辗转相除法求两数 2. 课本 P45 1  4081 与  20723 的最大公约数（答案：  53）. （二）更相减损术 中国古代的数学专著《九章算术》中也有求最大公约数的算法，就是更相减损术 . 即“ 可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之 . ” 翻译为现代语言如下： 第一步：任意给定两个正整数；判断它们是否都是偶数 . 若是，用 2 约简；若不是，执行第二步 . 第二步：以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数 . 继续这个操作，直到所得 的数相等为止，则这个数（等数）或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数 . 例 2 用更相减损术求 98 与 63 的最大公约数 . 解：由于 63 不是偶数，把 98 和 63 以大数减小数，并辗转相减，即： 98－ 63＝ 35 63－ 35＝ 28 35－ 28＝ 7 28－ 7＝ 21 21－ 7＝ 14 14－ 7＝ 7 所以， 98 与 63 的最大公约数是 7. 随堂练习：用更相减损术求两个正数 84 与 72 的最大公约数（答案： 12） （三）比较辗转相除法与更相减损术 1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别 较明显； （2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为 0 则得到，而更相减损术 则以减数与差相等而得到 . 三、〖归纳小结〗 辗转相除法与更相减损术求最大公约数的计算方法及完整算法程序的