微积分在物理学上的应用说课讲解.pdf

__________________________________________________ 微积分在物理学上的应用 1 引言 微积分是数学的一个基本学科，内容包括微分学，积分学，极限及其应用，其中微分学 包括导数的运算，因此使速度，加速度等物理元素可以使用一套通用的符号来进行讨论。而 在大学物理中，使用微积分去解决问题是及其普遍的。对于大学物理问题，可是使其化整为 零，将其分成许多在较小的时间或空间里的局部问题来进行分析。只要这些局部问题分的足 够小，足以使用简单，可研究的方法来解决，再把这些局部问题的结果整合起来啊，就可以 得到问题的结果。而这种将问题无限的分割下去，局部问题无限的小下去的方法，即称为微 分，而把这些无限个微分元中的结果进行求和的方法，即是积分。这种解决物理问题的思想 和方法即是微积分的思想和方法。 2 微积分的基本概念及微分的物理含义 微积分是一种数学思想，其建立在函数，实数和极限的基础上，其主要探讨的就是连 续变量。在运用微积分去解决物理问题时，可以将我们所需要得出的结果看成是一个整体， 再将这个整体先微分，即将其分成足够小的个体，我们可以将这个个体的变量看成衡量，得 出个体结果后，再将其积分，即把个体的结果累积起来进行求和。例如，在我们研究匀变速 直线运动时，我们就可以在其运动过程中选取一个微小的时间 dt，而这一时间内的位移为 dt，在每一段时间内速度的变化量非常小，可以近似忽略，那么我们就可以将这段时间内的 运动近似看成匀速直线运动，再把每段时间内的位移相加，无限求和，就可以得出总的位移。 在物理学中，每个物理公式都是某些物理现象和规律的数学表示，因此，我们在使用 这些公式时，面对物理量和公式的微分形式我们不能仅仅从数学方面去考虑，更要从物理含 义上去考虑。在我们使用微分符号时，不能只从数学角度去理解其为无限小，更要结合具体 的物理量和角度去判断他的正确含义。 例：如图所示，一通有交流电流 i=I0sin ωt的长直导线旁有一共面的单匝矩形线圈ABCD ，试 求线圈中的感应电动势大小。 解：设在某个时刻，长直导线电流产生的磁场为 μ i 0 B= 2πx 在图中做一个微元面 dS,dS=ldx,则该面元上的磁场可以近似于均匀磁场，微元面 dS 上的 磁通量为 μ i 0 dϕm = BdS = 2πxldx 线圈围成的面上通过的磁通量为 μ il b ϕm = ∫dϕm = 0 ln 2π a 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 __________________________________________________ 线圈中的感应电动势为 dϕ μ I lω b m 0 0 ε =‒ =‒ ln cos ωt dt 2π a 在这个例题中，微元面 dS 的磁通量与线圈的感应电动势都有dϕm ，但他们的物理含义 却是不一样的，前者的dϕm表示微元面 dS 上的磁通量，是一个微小量，而后者的dϕm表示 的是微笑时间内的磁通量变化量，是一个微小变化量。 3 微元的选取以及微积分解决物理问题时的一般步骤 3.1 微元的选取 在使用微积分去解决物理问题时，微元的选取是非常重要的，有的时候在微元的选择 上并不是仅仅只有一个，因此，选取一个合适的微元对我们解决问题会有很大帮助。 我们通常在微元的选取方面有以下几点注意，第一，在我们选取微元时，要保证我们 们所选择的微元能够让我们可以将原本的问题近似处理的比较简单，以使我们能够更加便利 且清晰的区解决物理问题；第二，我们要使我们选择的微元尽可能地大，这样在我们去积分 时可以更为方便，如果微分过细，那么我们的过程会更精准，可是相对的，我们在积分时面 临的过程也会更加繁琐，因此我们要处理好微分和积分之间的运算；第三，能用一元微元去 解决问题时尽量使用一元微元，因为重积分使用起来要比一元积分麻烦的很多。 选取微元要遵循以下几个原则：1.可加性原则，由于在题目中我们所选取的微元要可 以