《复变函数论》第六章.docx

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2021-01-25 发布于天津
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第六章留数理论及应用第一节留数留数定理设函数在点解析作圆使在以它为边界的闭圆盘上解析那么根据柯西定理积分等于零设函数在区域内解析选取使并且作圆那么如果在也解析则上面的积分也等于零如果是的孤立奇点则上述积分就不一定等于零这时我们把积分定义为在孤立奇点的留数记作这里积分是沿着按逆时针方向取的注解我们定义的留数与圆的半径无关事实上在内有洛朗展式而且这一展式在上一致收敛逐项积分我们有因此注解即在孤立奇点的留数等于其洛朗级数展式中的系数注解如果是的可去奇点那么定理留数定理设是在复平面上的一个有界区域其边界

第六章留数理论及应用第一节留数 1、留数定理：设函数 f(z)在点 z0解析。作圆 C:|z z0 | r ，使 f(z)在以它为边界的闭圆盘上解析，那么根据柯西定理，积分 C f (z)dz 等于零。设函数 f(z)在区域 0 | z z0 | R 内解析。选取 r，使 0rR ，并且作圆 C :| z z0 | r ，那么如果 f(z)在z0 也解析，则上面的积分也等于零；如果 z0是 f(z)的孤立奇点，则上述积分就不一定等于零；这时，我们把积分 2iC 2i C f ( z)dz 定义为 f(z)在孤立奇点 z0的留数，记作 Res(f , z0) ，这里积分是沿着 C按