2021年中考数学复习专题-不等式大综合.docx

2 - 不等式综合讲义 目录 TOC \o 1-3 \h \u 一、不等式的基本性质 - 2 - 二、重要不等式 - 3 - 三、例题展示 - 5 - 3.1 比较法 - 5 - 3.2 分析法 - 6 - 1. 凑项 - 6 - 2. 凑系数 - 8 - 3. 凑完全平方式 - 9 - 4. 分离 - 10 - 3.3 代换 - 11 - 1. 消元 - 11 - 2. 整体代换（“1”的代换） - 12 - 3. 判别式法（万能K法） - 15 - 4. 局部代换（换元） - 19 - 5. 三角代换 - 22 - 6. 均值代换、比值代换 - 24 - 3.4 构造 - 28 - 1. 形式构造 - 28 - 2. 对偶式构造 - 29 - 3. 函数构造 - 30 - 4. 数形结合 - 30 - 3.5 待定系数法 - 32 - 1. 均值不等式添加参数 - 33 - 2. 柯西不等式添加参数 - 34 - 3.6 切割线放缩 - 46 - 3.7 导数 - 52 - 四、综合练习 - 53 - 五、练习题 - 96 - 一、不等式的基本性质 （1）对称性：ab?ba； （2）传递性：ab， （3）可加性：ab， （4）加法法则：ab， （5）可乘性：ab，c0?acbc； （6）乘法法则：ab0， （7）乘方法则：ab0?an （8）开方法则：ab0?na （9）倒数法则：； （10）有关分数的性质：若 ab0，m0，则 ①真分数的性质：；； ②假分数的性质：；； （11）**不等式的对称性（了解） 设f(x1,x2,???,xn) 如xy+yz+zx，等. 设f(x1,x2,???,xn) 如x3y+y 显然，完全对称的一定是轮换对称的.  二、重要不等式 1.无理式化为有理式，分式化为整式 （1） （2） 2.1. 含有绝对值的不等式 （1）； （2）； （3）对形如|x-a|+|x-b|≤(≥)c的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解． （4）含有绝对值的不等式的性质 |a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|. 取等条件： 不等式|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|，右侧“=”成立的条件是ab≥0，左侧“=”成立的条件是ab≤0，且|a|≥|b|； 不等式|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|，右侧“=”成立的条件是ab≤0，左侧“=”成立的条件是ab≥0，且|a|≥|b|. 2.2. 一元二次不等式 ax2+bx+c0(a≠0) ? ? ? a0 x x≠- -∞x∞ a0 -b+ 无解 无解 对于a0的情况，先移项将系数变为正然后求解. 2.3．基本不等式 （1）设a,b∈R，则a2+b （2）若 a,b0，则，当且仅当a=b时，等号成立． （3）若 a,b0，则，当且仅当a=b时，等号成立． 其中，称为调和平均数，称为几何平均数，称为算术平均数，称为平方平均数 2.4. 柯西不等式 （1）柯西不等式简单形式：， ， 证： 得证. 当时取等号. （2）柯西不等式向量形式：|α 如图，设在平面直角坐标系xOy中有向量α=(a,b),β=(c,d)，α与β之间的夹角为θ 根据向量数量积的定义，有α?β=|α|?| 当且仅当β是零向量，或者α// （3）二维形式的三角不等式：x1 当且仅当P1,P2与原点O在同一直线上，并且点 三、例题展示 3.1 比较法 【例1】设a、b是非负实数，求证： 【证明】 当时，，从而，得； 当时，，从而，得； 所以 【例2】已知，证明：. 【证明】，， 当时，，，于是； 当时，. 所以. 【例3】设，则(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵，， ，. 故答案为：C 3.2 分析法 1. 凑项 【例4】设a1，则的最小值是 ▲ ． 【答案】5 【解析】 当且仅当 ，即时取等号. 【点评】使用该公式时一定要牢牢抓住一正、二定、三相等这三个条件，如果不符合条件则：非正化正、非定构定、不等作图（单调性）.平时应熟练掌握双钩函数的图象，还应加强非定构定、不等作图这方面的训练，并注重表达的规范性，才能灵活应对这类题型. 【练习】设x,y为正实数，且，则xy的最小值为 ▲ ． 【答案】27 【解析】因为，所以，， 因此 当且仅当y-1=2,y=3时取等号，即xy的最小值为27. 未知定值（没有形如“a+b=1”这样的定值式） 【例5】设x,y为正实数，则的最小值为 【答案】3 【解析一】配凑 ， 当且仅当时，即x=3y取等号. 【点评