第二十五讲辅助圆.docx

第二十五讲 辅助圆 在处理平面几何中的许多问题时，常需要借助于圆的性质，问题才得以解决. 而我们需要的圆并不存在 (有时题设中没有涉及圆；有时虽然题设涉及圆，但是此圆并 不是我们需要用的圆)，这就需要我们利用已知条件，借助图形把需要的实际存在的圆找出 来，添补辅助圆的常见方法有： 1利用圆的定义添补辅助圆； 2.作三角形的外接圆； 3?运用四点共圆的判定方法： 若一个四边形的一组对角互补，则它的四个顶点共圆. 同底同侧张等角的三角形，各顶点共圆. ⑶若四边形ABCD的对角线相交于 P,且PA?PC=PB ? PD,则它的四个顶点共圆. (4)若四边形 ABCD的一组对边 AB、DC的延长线相交于 P,且PA ? PB= PC ? PD,则它 的四个顶点共圆. 【例题求解】 【例1】如图，直线AB和AC与O O分别相切于B、C, P为圆上一点，P到AB、AC的距 离分别为4cm、6cm，那么P到BC的距离为 . 思路点拨 连DF, EF,寻找PD、PE、PF之间的关系，证明△ PDFPFE,而发现P、D、 B、F与P、E、C、F分别共圆，突破角是解题的关键. 注：圆具有丰富的性质： 圆的对称性； 等圆或同圆中不同名称量的转化； 与圆相关的角； 圆中比例线段. 适当发现并添出辅助圆，就为圆的丰富性质的运用创造了条件，由于图形的复杂性， 有时在图中并不需画出圆，可谓“图中无圆，心中有圆” 【例 2】 女口图，若 PA=PB,Z APB=2 / ACB , AC 与 PB 交于点 P, 且 PB=4, PD=3，贝U AD ? DC 等于( ) A. 6 B. 7 C. 12 D. 16 思路点拨 作出以P点为圆心、PA长为半径的圆，为相交弦定理的应用创设了条件.  注：到一个定点等距离的几个点在同一个圆上，这是利用圆的定义添辅助圆的最基本方法. 【例3】 如图，在厶ABC中，AB=AC，任意延长 CA到P，再延长AB到Q,使AP=BQ， 求证：△ ABC的外心0与A，P, Q四点共圆. 思路点拨 先作出△ ABC的外心0,连P0、0Q,将问题转化为证明角相等. 【例4】 如图，P是O 0外一点，PA切O 0于A , PBC是O 0的割线，AD丄P0于D.求 证:PB PC 证: PB PC PD _CD 思路点拨 因所证 比例 线段 不是对 应边，故 不能 通过判 定厶PBD与△ PCD相似证 明.PA2=PD ? P0=PB ? PC, B、C、0、D共圆，这样连 0B，就得多对相似三角形，以此 达到证明的目的. 注：四点共圆既是一类问题， 又是平面几何中一个重要的证明方法， 它和证明三角形全等和 相似三角形有着同等重要的地位， 这是因为，某四点共圆，不但与这四点相联系的条件集中 或转移，而且可直接运?用圆的性质为解题服务. 【例5】如图，在△ ABC中，高 BE、CF相交于 H,且/ BHC=135 ° , G ABC内的一 点，且 GB=GC,/ BGC= 3/ A，连结 HG,求证：HG 平分/ BHF . 思路点拨 经计算可得/ A=45 ° ,△ ABE ,△ BFH皆为等腰直角三角形，只需证/ GHB= / GHF=22.5 ° . 由/ BGC=3 / A=135 证明. 注：许多直线形问题借助辅助圆，常能降低问题的难度，使问题获得简解、巧解或新解. 学力训练 2 1.如图，正方形ABCD的中心为 0,面积为1989cm , P为正方形内一点， 且/ OPB=45 PA: PB=5 : 14,贝U PB 的长为 . 2.如图，在△ ABC 中，AB=AC=2 , BC 边上有 100个不同的点 Pi、P2,, P100，记 2 mi =APj - BPi PiC (i=1 , 2,, 100),则 mt +m2 半八-+m100 3.设△ ABC三边上的高分别为 AD、BE、CF,且其垂心 H不与任一顶点重合，则由点 B、C、D、E、F、H中某四点可以确定的圆共有 （ ） (第｝ JS1) D . 6个 A ｛第3题） 4.如图，已知 OA=OB=OC，且/ A. ^k 倍 B. 是 k 倍 2 5 .如图，在等腰梯形 ABCD中， AD上，满足条件的/ 1 AOB= k / BOC，则/ ACB 是/ 1 C. 2k D. k BAC 的( BPC=90° C. AB // CD , AB=998 , CD=1001 , 的点P的个数为（ ） D .不小于3的整数 AD=1999 , 点P在线段 6 .如图，AD、 A. 3 7 .如图; 如图, 已知 求证: BE是锐角三角形的两条高, abc= 18 , DEC =2 , D. 3 4 则COSC等于（ ） 1 2 B.丄 C.- 3 3 H是厶ABC三条