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专题06数列(同步练习)A卷
一、数列的递推公式与通项公式
(一)明确指出等差或等比数列:
1、 设等差数列的首项为?,公差为〃(“ e R),形成关于5和〃的方程组,解和〃;
2、 设等比数列的首项为心,公比为g(g w R且彳H 0),形成关于山和?的方程组,解心和彳; 例K已知{?}为等差数列,且幻+幻=8.幻+ 5 = 12?求数列{%}的通项公式。
例2.已知等差数列{?}的前〃项和为S “,且满足:“2+心=14』7=70,求数列{?}的通项公式。
例3、已知等比数列{心}的前〃项和为S-若幻-心=3,且成等差数列,求{?}的通项公式。
例4.已知等比数列{心}的前〃项和为久,公比不为1,若佝=1,则对任意的"e N.都有““2 +
%、-K=°,求他}的通项公式。
(二)由递推公式求通项公式
1、用数学归纳法求根据各个数列的首项和递推公式,写出它的前几项,并求通项公式。 例5、根携并数列的首项和递推公式写出它的前5项,并用数学归纳法求通项公式。
(l)“i =0,??+1 = ?? + (2w -1):
(_)“] = 1.%] = — 5
心+2
⑶幻=3.%]=现_2 °
2、递推式为an^=an+d及 7=q?ug、彳且"0为常数)时,转化成等差数列或等比数列问题匚
例6、已知{?}满足"卄i=~+2,而且“1=1。求?。
例7、已知{“”}满足%=丄“",而幻=2.求?。
2
3.做差法:由
3.做差法:
由?与Sn (即q + a? +…+ 5 = /⑺))的关系求?"
Ar"Sn-r/?-2
已知数列{心}的前〃项和求数列的通项公式,其求解过程分为三步:
(1)先利用叭=S\求出“I:
⑵用〃 一 1替换S/,中的〃得到一个新关系,利用5 = Sn - S— (〃 n 2河求出当〃 A 2时?的表达式:
⑶对〃 =1时的结果进行检验看是否符合时?的表达式,如果符合则可以把数列的通项公式合写:如 果不符合则应该分〃 =1与n^2两段来写。
例8.已知数列{?}的前〃项和S打求它们的通项心o
(1) =2/i" + 3/i:
⑵ Sn=3n+1.
例9.已知数列{?}的前"项和S/,满足Sn=X+(-l)no求数列{?}的通项公式。
7(lXn = l
4、做商法:由?|?5…an = f(n)求an .an=<
“),“ 2。
/(H-l)
例10、数列{?}中,对所有畀e N*都有“1?“2…?=卩凡则“1 +?3 +as = 。
5、累加法:由=/(")求通项"”,则 5 =(£_%]) +(£■] _"”_2)+…+(°2 _"】)+ "】(川二 2)。 例11、已知数列{?}中5 = 2,%1 =“幵+N ?求?o
例12、已知数列{“”}满足“1 = + ."”+1 ="” + —?求心。
Z 72 + 〃
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(1)/(〃)为常数,即递推公式为"”严“4+q (其中/八g均为常数且凶(〃-1)工0)。解法是先设参转化为
+九=“心+入),其中入二丄,再利用换元法转化为等比数列求解。
例16、已知数列{“界}中,“]=I,%】=2an +3,求心o
例17、已知数列{“』中,幻=1,对于"A 2有% =坯J +2、求心o
(2)/5)为一次多项式,即递推公式为t/n+1 = p - an + r ? /? +.? o
例18、设数列{?}中,幻=4,叫二珂“+2〃 一 1(“ 2 2),求匕。
⑶f(n)为n的二次式,则可设乞=an + An2 + Bn + C a
2^递推公式为q?+i = p an +/(其中p、q为常数且pg(”一1)(?_1)工0)或如=p an + r qn (其中p、
q、「为常数)。一般地要先在原递推公式两边同除以/二得: % =上.绍+丄?引入辅助数列他}(其中 q 亠 q q q
bn =绍),得:b冲=2也+丄,再应用类型(1)的方法解决。
q q q
例19.已知数列{?}中Mx=- “屮=\an + (£)川,求?o
例20、已知数列{心}的前〃项和S” = 4一“”一召,求?。
3、递推公式为%2 = P ? Un^\ + q ?~ (其中p、q均为常数)。
先把原递推公式转化为-5 ? %产/(%]-?$?色),其中八/满足r+l = t\解岀儿r,于是 st = -q
是公比为/的等比数列,就转化为前而的类型。
2 1
例 21、己知数列{?}中mx = 1 m2 = 2 .?n4.2 = -an^ + -an 9求?a
4、形如冷= ? 或q- —b“ =kq?G 的递推数列都可以用倒数法求通项。
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