matlab数学实验报告定积分的近似计算知识讲解.pdf

MATLAB 数学实验报告 实验日期： 2015 年 11 月 20 日 实验名称 定积分的近似计算 姓名： 学号： 班级： 问题背景描述： 利用牛顿—莱布尼兹公式虽然可以精确地计算定积分的值， 但它仅适用于被积函数的原 函数能用初等函数表达出来的情形． 如果这点办不到或者不容易办到， 这就有必要考虑近似 计算的方法． 在定积分的很多应用问题中，被积函数甚至没有解析表达式，可能只是一条实 验记录曲线，或者是一组离散的采样值，这时只能应用近似方法去计算相应的定积分． 实验目的： 本实验将主要研究定积分的三种近似计算算法：矩形法、梯形法、抛物线法。对于定积 分的近似数值计算， Matlab 有专门函数可用。 实验原理与数学模型： 1． 矩形法 根据定积分的定义，每一个积分和都可以看作是定积分的一个近似值，即 在几何意义上， 这是用一系列小矩形面积近似小曲边梯形的结果， 所以把这个近似计算 方法称为矩形法．不过，只有当积分区间被分割得很细时，矩形法才有一定的精确度． 针对不同 的取法，计算结果会有不同。 （1） 左点法：对等分区间 ， 在区间 上取左端点，即取 。 （2 ）右点法：同（ 1）中划分区间，在区间 上取右端点，即取 。 （3 ）中点法：同（ 1）中划分区间，在区间 上取中点，即取 。 2 ． 梯形法 等分区间 ， 相应函数值为 （ ）． 曲线 上相应的点为 （ ） 将曲线的每一段弧 用过点 ， 的弦 （线性函数）来代替，这使得每个 上的曲边梯形成为真正的梯形，其面积为 ， ． 于是各个小梯形面积之和就是曲边梯形面积的近似值， ， 即 ， 称此式为 梯形公式 。 3． 抛物线法 将积分区间 作 等分，分点依次为 ， ， 对应函数值为 （ ）， 曲线上相应点为 （ ）． 现把区间 上的曲线段 用通过三点 ， ， 的抛物线 来近似代替，然后求函数 从 到 的定积分： 由于 ，代入上式整理后得 同样也有 …… 将这 个积分相加即得原来所要计算的定积分的近似值：