伸缩因子为m的全正加细函数_杨守志.docxVIP

2007 年 11 月 汕头大学学报 ( 自然科学版) 第 22 卷 第 4 期 Nov. 2007 J our nal of Shantou Univer sity ( Natur al Science ) Vol.22 No.4 文章编号: 1001 - 4217( 2007) 04 - 0046 - 07 伸缩因子为 M 的全正加细函数 杨守志, 朱天翔 汕头大学数学系, 广东 汕头 515063) 要 : 讨论伸缩因子为 M, M≥ 2 的全正加细函数的构造问题. 研究它的精度、光滑性和对称性等性质, 给出一类全正、对称、光滑的加细函数的显示构造方法, 证明该类加细函数有很多性质与 B- 样条加细函数类似, 可以通过卷积的方式增加加细函数的光滑性. 关键词: 加细函数; 伸缩因子; 全正性; 加细函数方程 中图分类号: O 174.2 文献标识码: A 0 引 言 多分辨分析在很多方面都有很重要的应用, 如逼近理论、数字信号处理等. 近年 来, 有大量文章和专著从不同的方面阐述了对多分辨分析和小波的应用. 多分辨分析和小波一般是用两尺度加细函数来构造的. 伸缩因子 M = 2 的两尺度加细方程及两尺度函数的性质已有很多人研究, 并且已经有了很好的结论. 例如, Gori等[1]给出了全正对称紧支撑加细函数的显示解, 并研究了它的光滑性和紧支撑性. Pitolli[2]研究了全正紧支撑对称且具有插值性的加细函数. Gori 和 Pitolli 所研究的加细函数的面具都是 Hurwitz 多项式, 且产生的尺度函数为小涟漪. 讨论伸缩因子为 M 的情形, 一方面是由于 M- 通道滤波器理论的需要[3- 5], 另一方面是为了得到比伸缩因子 M = 2 更灵活的时频分析工具. Goodman 等[6]讨论了伸缩因子 M ≥ 2 时, 尺度函数为小涟漪其面具需满足的条件. 针对上述情形, 本文主要研究 M 2 时, 全正加细函数的构造问题, 并 讨论它们的性质. 1 基本概念 称满足下列条件的子空间序列{Vj}是一个多分辨分析( MRA) : 1) VjVj+1, #j∈Z; 2) ClosL % Vj ’= L2( R) ; j∈Z 收稿日期: 2007 - 06 - 04 作者简介: 杨守志( 1963 ~) , 男, 河南罗山人, 教授, 博士生导师. E- mail: szyang@stu.edu.cn 基金项目: 广东省自然科学基金资助项目( No: 032038) ; 广东省自然科学博士基金资助项目(No: 第 4 期 杨守志等: 伸缩因子为 M 的全正加细函数 47 3) ( Vj) = {0}; j∈Z 4) f(·) ∈Vj # f( M·) ∈Vj+1; 5) 存在函数 φ(x) , 使得{φ(·- k) , k∈Z}构成 V0 的 Riesz 基. 可以通过如下加细方程来构造多分辨分析: φ(x) = $Pk φ(Mx - k) ,M ≥ 2, M∈Z, x∈R ( 1) k∈Z 其中系数{Pk}称为面具. 定义加细函数的符号为: 1 - i kω P( ω) = $Pke . M k∈Z = P( ω) 对式( 1) 两边做傅立叶变换得: φ(Mω) φ(ω) . 根据上式, {Pk}必需满足$Pk = M. k∈Z 如果 φx1 x2 ? xp = det φ(x - i ) ≥0, i1 i2 ? i p ’ l, j=1, 2, ?, p lj 其中 x1 x2 ? xp, i1 i2 ? ip, xl∈R, il∈Z , 则称尺度函数 φ为小涟漪, 其支 撑区间为[0, n/( M- 1) ]. 当 il xl il + n, l = 1, 2, ?, p 时, 则不等式严格成立. 加细方程解的存在性和加细函数的性质可由符号来确定. 由文献[ 6] 可知, 如果: 1) Pk 0, 当 k = 0, 1, 2, ?, n, n M; Pk = 0, 当 k 0 或 k n; 2) P( ω) = ( ( e- i(M- 1)ω+ e- i(M- 2)ω+ ? + e- iω+ 1) /M) Q( ω) ; 3) Q( 0) = 1 且多项式 Q( ω) 的系数非负. 那么 φ(x) = $Pk φ(Mx - k) 有解, 且解为小涟漪. k∈Z 定义 1 2 0) ≠ 如果尺度函数 φ(x) 满足: 1) φ是紧支撑的; 2) φ∈L ( R) ; 3) φ( 0; 4) {φ(x - k) }k∈Z 线性无关. 那么, 称尺度