2019-2020学年新高考数学选修题详解4.2 导数在研究函数中的应用的综合运用 （第三课解析版）.docxVIP

4.2导数在函数中的运用（第三课时） 【例1】（2019·吉林高三月考（文））设函数． （Ⅰ）当时，求的极值； （Ⅱ）当时，判断的单调性. 【答案】（Ⅰ）极小值为，无极大值；（Ⅱ）函数在上单调递增． 【解析】（Ⅰ）由已知，的定义域为， ， 当时，令，得． 又，所以， 当时，； 当时，． 因此，当时，有极小值，极小值为，无极大值； （Ⅱ）由已知，的定义域为， ， 令， 则在上递减，在上递增， 因此，有最小值． 当时，，则， 此时，函数在上单调递增． 【例2】（2019·安徽高三月考（文））已知函数，. （1）讨论函数的极值； （2）若函数存在极小值，且极小值小于零，求实数的取值范围. 【答案】（1）答案不唯一，见解析（2） 【解析】（1）定义域为，， 当时，或；，单调增区间为，，单调减区间为，∴的极大值为，极小值为， 当时，，在上是增函数，没有极值； 当时，或；，∴的单调增区间为，，单调减区间为，∴的极大值为，极小值为. （2）由（1）知时，的极小值为， 时，的极小值为， 由得，∴ 即的取值范围是. 1．（2019·四川绵阳中学高三月考（文））已知函数． （1）当时，求函数的极值； （2）是否存在实数，使得函数在区间上的最大值是2，若存在，求出的值；不存在，请说明理由． 【答案】（1）极小值为，极大值为；（2）存在，理由见解析 【解析】（1）当时，，则， 由，得或；由，得， 在上单调递增，上单调递减，上单调递增． 的极小值为，极大值为. （2）， 当时，在单调递增，最大值为，解得（舍）； 当时，在上单调递减，在上单调递增，最大值为或， 由，解得（舍），由，解得. 当时，在单调递减，最大值为，解得（舍)． 综上所述：. 2．（2019·广西高三（文））已知函数f（x）=x2-（a+1）x+alnx+1 （Ⅰ）若x=3是f（x）的极值点，求f（x）的极大值； （Ⅱ）求a的范围，使得f（x）≥1恒成立． 【答案】（Ⅰ）极大值为；（Ⅱ） 【解析】（Ⅰ） ∵x=3是f（x）的极值点，∴，解得a=3 当a=3时，， 当x变化时， x （0，1） 1 （1，3） 3 （3，+∞） f′（x） + 0 - 0 + f（x） 递增 极大值 递减 极小值 递增 f（x）的极大值为； （Ⅱ）要使得f（x）≥1恒成立，即x＞0时，恒成立， 设，则， （ⅰ）当a≤0时，由g′（x）＜0得单减区间为（0，1），由g′（x）＞0得单增区间为（1，+∞）， 故，得； （ii）当0＜a＜1时，由g′（x）＜0得单减区间为（a，1），由g′（x）＞0得单增区间为（0，a），（1，+∞），此时，∴不合题意； （iii）当a=1时，f（x）在（0，+∞）上单增，，∴不合题意； （iv）当a＞1时，由g′（x）＜0得单减区间为（1，a），由g′（x）＞0得单增区间为（0，1），（a，+∞），此时，∴不合题意． 综上所述：时，f（x）≥1恒成立． 3．（2019·黑龙江高三期中（文））设f(x)=xln x–ax2+(2a–1)x，a∈R. （Ⅰ）令g(x)=f'(x)，求g(x)的单调区间； （Ⅱ）已知f(x)在x=1处取得极大值.求实数a的取值范围. 【答案】（Ⅰ）当a≤0时，函数g(x)单调递增区间为(0,+∞)，当a>0时，函数g(x)单调递增区间为（0,12a），单调递减区间为 【解析】（Ⅰ）由f 可得g(x)=ln 则g' 当a≤0时， x∈(0,+∞)时，g'(x)>0，函数 当a>0时， x∈（0,12a）时，g x∈（12a,+∞）时，g 所以当a≤0时，g(x)单调递增区间为(0,+∞)； 当a>0时，函数g(x)单调递增区间为（0,12a） （Ⅱ）由（Ⅰ）知，f' ①当a≤0时，f'(x)<0， 所以当x∈(0,1)时，f'(x)<0， 当x∈(1,+∞)时，f'(x)>0， 所以f(x)在x=1处取得极小值，不合题意. ②当0<a<12时，12a>1，由(Ⅰ)知 可得当当x∈(0,1)时，f'(x)<0，x∈（1,1 所以f(x)在(0,1)内单调递减，在（1,1 所以f(x)在x=1处取得极小值，不合题意. ③当a=12时，即12a=1时， 所以当x∈(0,+∞)时，f'(x)≤0， ④当a>12时，即0<12a<1，当x∈（ 当x∈(1,+∞)时，f'(x)<0， 所以f(x)在x=1处取得极大值，合题意. 综上可知，实数a的取值范围为a>1 4．（2019·北京清华附中高三月考）已知函数 （Ⅰ）当时,求函数的单调区间; （Ⅱ）当时,求函数在区间上的最小值. 【答案】（Ⅰ）递增,在递减；（Ⅱ）时,时,. 【解析】（Ⅰ）当时, 令解得: 令解得: 在递增,在递减; （Ⅱ）由得: , 令解得 ①时,即时,对恒成立, 在递增,; ②当时,即时,在上