高中数学竞赛讲义-向量与向量方法（2）.docVIP

高考资源网（） 您身边的高考专家 PAGE 1 - 版权所有@高考资源网 （二） 1．已知，，，令，.则M与N的大小关系是 ( ) A．M>N B．M<N C．M＝N D．M、N间的大小关系不能确定 (2000年河北省高中数学竞赛试题) 2．实数满足，及，则的最小值是______________________. （1993年上海市高三数学竞赛试题） 3．（证明恒等式）（1）已知，且、、、、、为非零实数，求证：. 4．（求值）（1）已知，试求的值。 5．题组（1）求实数、的值，使函数f(，)＝(1－)2+(+－3)2+(2+－6)2取得最小值. （2001年全国初中数学联赛） （2）若，求的最小值. （3）求函数的值域. 变题 求函数的极值. （4）已知点P()在椭圆上，求的最大值. （5）设为正实数，且，试求的最小值. （6）求函数 的最大值. （7）已知，且， 求的最大值.（1990年首届“希望杯”全国数学邀请赛备选题） 6．用向量方法证明下列不等式： （1）已知，其中、、、均为实数. 求证：－1≤+≤1． （2） 已知、、，且++＝1，求证≥36. （1990年日本IMO选拔试题） （3） 已知、、，求证≥. （第二届友谊杯国际数学邀请赛题） （4）若、、，且，n是正整数，求证： ≥. （5）若、、、、，则≥. （6）对所有的正实数、、，证明：≥1. （2001年第42届IMO试题） 7．（1）已知、，且cos+cos－cos(+)＝，求、的值. （2）求值cos5°+cos77°+cos149°+cos221°+cos293°. （3）求的值. 8．设a、b是两个实数，A＝{(x，y)|x＝n，y＝na+b，n是整数}，B＝{(x，y)|x＝m，y＝3m2+15，m是整数}，C＝{(x，y)|x2+y2 ①AB≠(表示空集)， ②(a，b)∈C同时成立. （1985年全国高考理科压轴题） ９．给定正整数n和正数M，对于满足条件≤M的所有等差数列，试求的最大值.（1999年全国高中数学联赛第一试压轴题） QABOGP10．（1） 如图，G为ΔAOB的中线OM的中点，PQ过G，分别交OA、OB于点P、Q，， Q A B O G P D D A B C F E （2）试证：三角形三中线的长度的平方和等于三边长度的平方和的. AB A B D C P S R Q ·M · · · 的重心，R、S分别是ΔDMC和ΔMAB的垂心. 求证：PQ⊥RS. （4）求证三角形三边上的高交于一点. A A B C D E F H DECFAB（5）设D、E、F分别是ΔABC的所在各边的三等分点，且BC＝ D E C F A B y(A)OG y (A) O G B E D x H(1,－) P(,－) F(,－1) C （7）设H、G、O分别为ΔABC的垂心、重心和外心. 又K为ΔABC所在平面上一点. 求证：①； ②用向量法证明H、G、O三点共线，且HG＝2GO.（欧拉定理） ABCB1C1A1（8）如图，A1、B1、C1分别是三角形的边BC、CA、AB上的定比分点，如果它们把三角形的边分别分成定比，，. 那么A1、B1 A B C B1 C1 A1 （9）已知三点O1、02、03及另一点M，且点M1是点M关于O1的对 称点，点M2是点M1关于O2的对称点，点M3是M2关于O3的对称点，点M4是点M3关于O1的对称点，点M5是点M4关于O2的对称点，点M6是点M5关于O3的对称点，求证：点M6和始点M重合. M M M1 M2 M3 M4 M5 O2 O1 （10）如图，在ΔABC中，O为外心，三条高线交于H，D、E、F为垂足，直线ED、AB交于M，直线FD、AC交于N. 求证：（Ⅰ）OB⊥DF，OC⊥DE；(Ⅱ)OH⊥MN. NA N A B C D E F O H M OABCxyxx11．（1）充分暴露美国霸权主义、单边主义的滞留在我海南陵水机场的EP－3电子侦察机，终以其被大御八块，由租用的“安－124”运输机运回本土而告终，设若该机从日本冲绳美军基地起飞，至我领海外海上空A处，它在地面上的