最新高中数学竞赛讲义.pdfVIP

1 高中数学竞赛讲义 （十五） 1 高中数学竞赛讲义 （十五） 2 ──复数 2 ──复数 3 一、基础知识 3 一、基础知识 2 2 4 1．复数的定义：设i 为方程x -1 的根，i 称为虚数单位，由i 与实数进行 4 1．复数的定义：设i 为方程x -1 的根，i 称为虚数单位，由i 与实数进行 5 加、减、乘、除等运算。便产生形如a+bi （a,b∈R）的数，称为复数。所有复 5 加、减、乘、除等运算。便产生形如a+bi （a,b∈R）的数，称为复数。所有复 6 数构成的集合称复数集。通常用C 来表示。 6 数构成的集合称复数集。通常用C 来表示。 7 2．复数的几种形式。对任意复数z a+bi （a,b∈R），a 称实部记作Re (z),b 7 2．复数的几种形式。对任意复数z a+bi （a,b∈R），a 称实部记作Re (z),b 8 称虚部记作Im (z). z ai称为代数形式，它由实部、虚部两部分构成；若将(a,b) 8 称虚部记作Im (z). z ai称为代数形式，它由实部、虚部两部分构成；若将(a,b) 9 作为坐标平面内点的坐标，那么z 与坐标平面唯一一个点相对应，从而可以建 9 作为坐标平面内点的坐标，那么z 与坐标平面唯一一个点相对应，从而可以建 10 立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合之间的一一映射。因此复数可以用 10 立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合之间的一一映射。因此复数可以用 11 点来表示，表示复数的平面称为复平面，x 轴称为实轴，y 轴去掉原点称为虚轴， 11 点来表示，表示复数的平面称为复平面，x 轴称为实轴，y 轴去掉原点称为虚轴， 12 点称为复数的几何形式；如果将(a,b)作为向量的坐标，复数z 又对应唯一一个 12 点称为复数的几何形式；如果将(a,b)作为向量的坐标，复数z 又对应唯一一个 13 向量。因此坐标平面内的向量也是复数的一种表示形式，称为向量形式； 外 13 向量。因此坐标平面内的向量也是复数的一种表示形式，称为向量形式； 外 14 设z 对应复平面内的点Z，见图15-1，连接OZ，设 xOZ θ, |OZ | r，则a rcos 14 设z 对应复平面内的点Z，见图15-1，连接OZ，设 xOZ θ, |OZ | r，则a rcos 15 θ,b rsin θ,所以z r (cosθ+isin θ)，这种形式叫做三角形式。若z r (cosθ 15 θ,b rsin θ,所以z r (cosθ+isin θ)，这种形式叫做三角形式。若z r (cosθ 16 +isin θ)，则θ称为z 的辐角。若0≤θ2 π，则θ称为z 的辐角主值，记作θ 16 +isin θ)，则θ称为z 的辐角。若0≤θ2 π，则θ称为z 的辐角主值，记作θ i θ 17 Arg (z). r 称为 z 的模，也记作|z |，由勾股定理知|z | .如果用 ei θ 17 Arg (z). r 称为 z 的模，也记作|z |，由勾股定理知|z | .如果用 e i θ i θ 18 表示cos θ+isin θ，则z re ，称为复数的指数形式。 18 表示cos θ+isin θ，则z re ，称为复数的指数形式。 19 3．共轭与模，若z a+bi， （a,b∈R）,则 a-bi 称为 z 的共轭复数。模与 19