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高中数学竞赛讲义 (十八)──组合
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一、方法与例题
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1.抽屉原理。
1.抽屉原理。
例 1 设整数 n≥4,a ,a ,…,a 是区间(0,2n)内 n 个不同的整数,证明:存在集合
例 1 设整数 n≥4,a ,a ,…,a 是区间(0,2n)内 n 个不同的整数,证明:存在集合
1 2 n
1 2 n
{a,a ,…,a }的一个子集,它的所有元素之和能被 2n 整除。
{a,a ,…,a }的一个子集,它的所有元素之和能被 2n 整除。
1 2 n
1 2 n
[证明] (1)若 n {a,a ,…,a },则 n 个不同的数属于 n-1 个集合 {1,2n-1},
[证明] (1)若 n {a,a ,…,a },则 n 个不同的数属于 n-1 个集合 {1,2n-1},
1 2 n
1 2 n
{2,2n-2},…,{n-1,n+1}。由抽屉原理知其中必存在两个数 a ,a (i≠j)属于同一集合,从而
{2,2n-2},…,{n-1,n+1}。由抽屉原理知其中必存在两个数 a ,a (i≠j)属于同一集合,从而
i j
i j
a +a 2n 被 2n 整除;
a +a 2n 被 2n 整除;
i j
i j
a
(2)若 n∈{a,a ,…,a },不妨设 a
(2)若 n∈{a,a ,…,a },不妨设 n (n-1 ) 3 a, a,
n (n-1 ) 3 a, a,
,从 a ,a ,…,a ≥3 中任意取 个数
1 2 n ,从 a ,a ,…,a ≥3 中任意取 个数
1 2 n 1 2 n
n 1 2 n-1 i j
n -1 i j
a n a
与 a 中至少有一个不被 n 整除,否则 a
a (a,a a ) a-a 与 -a 中至少有一个不被 整除,否则 -a=(a -a)+(a-a)
a (a,a a ),则 a-a -a -a=(a -a)+(a-a)≥2n,这与
k i j k ,则 j i k i k i k j j i ≥2n,这与
k i j
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