数列的极限教案人教课标版实用教案.docx

数列的极限 .数列极限的定义：一般地，如果当项数无限增大时，无穷数列 {} 的项无限地趋近于某个常数（即－无限地接近于） ，那么就说数列 {} 以 为极限 . 注：不一定是｛｝中的项 . .几个常用的极限：① lim （为常数） ;② lim 1 ;③ lim （＜） . n n n n .数列极限的四则运算法则：设数列｛｝ 、｛｝， 当 lim , lim 时， lim n n n  （±）± ; lim （·）·; lim a n a （≠） . n n bn b ●点击双基 .下列极限正确的个数是 ① ③  lim 1 （α＞） ② lim n n n 2n 3n ④ lim （为常数） lim 2 n 3 n － n n .都不正确 解析 :①③④正确 . 答案 . lim ［（－ 1 ）（－ 1 ）（－ 1 ） （－ 1 ）］等于 n 3 4 5 n 2 .1 解析 : lim ［（－ 1 ）（－ 1 ）（－ 1 ） （－ 1 ）］ n 3 4 5 n 2 lim ［× 2 × 3 × 4 × × n 1 ］ n 3 4 5 n 2 lim 2n . n 2 答案 ●典例剖析 【例】 求下列极限： （） lim 2n 2 2 n 7 ;（） lim （ n 2 n －） ; n 5n 7 n （） lim （ 22 42 2n2 ）. n n n n 剖析 :（）因为分子分母都无极限，故不能直接运用商的极限运算 法则，可通过变形分子分母同除以后再求极限； （）因 n2 n 与都没有极限，可先分子有理化再求极限； （）因为极限的运算法则只适用于有限个数列，需先求和再求极限 . 2n 2 2 1 7 解:（） lim n 7 n n 2 2 . 5n 2 7 lim 7 5 n n 5 2 n （） lim （ n2 n －） lim n 2 n n lim 1 1 . n n n n 1 2 1 1 n （）原式 lim 2 4 6 2 2n lim n(n 2 1) lim （ 1 ）. n n n n n n lim ( 2n 2 n 7) 评述 :对于（）要避免下面两种错误： ①原式 n ②∵ lim lim ( 5n 2 7) n n （ ）, lim （）不存在，∴原式无极限 .对于（）要避免出现下面两种错 n 误：① lim （ n2 n －）lim n2 n － lim ∞－∞ ;②原式 lim n2 n － lim ∞ n n n n n －∞不存在 .对于（）要避免出现原式 lim 22 lim 42 lim 2n2 这样的错 n n n n n n 误. 【例】 已知数列｛｝是由正数构成的数列，＝，且满足＝ －＋， 其中是大于的整数，是正数． （）求数列｛｝的通项公式及前和； （）求 lim 2 n 1 an 的值． n n 2 an 1 解:（）由已知得＝ ｃ·－, ∴｛｝是以＝，公比为的等比数列，则＝· ｃ－ . 3n (c 1) ∴＝ 3(1 c n ) (c 0且c 1). 1 c （） lim 2n 1 an ＝ lim 2 n 1 3c n 1 2 n a n 1 2 n 3c n. n n ①当时，原式＝－ 1 ; 4 ( 2 ) n 1 3 ＝－1; ②当 ｃ＞时，原式＝ lim c n 2 2 ) n 1 3c c ( c 1 3( c ) n 1 ＝ 1 . ③当＜ ｃ＜时，原式 lim 2 n 2 3c c ) n 12 ( 2 评述 :求数列极限时要注意分类讨论思想的应用 . 【例】 已知直线－（∈ * ）,圆:（）（）,抛物线 （－） ,又与交于 | AB| 2 点、，与 交于点、，求 lim 2 . n |CD| 2 剖析 :要求 lim |AB|2 的值，必须先求它与的关系 . n |CD | 解:设圆心（－ ,－）到直线的距离为 ,则 (n 1) 2 . n 2 1 又,∴（－） 8n 2 . 1 n 设点（） ,（）， 由 x ny 0 －（） , y ( x 1) 2 2n 1 ,·. n ∵（－）（）－ 4n 2 1 ,（－）（ x1 － x2 ） 4n 4 1 , n n n n ∴（－）（－） 14 （）（） . n ∴ lim | AB |2 lim 8n 5 lim 8 . 2 2 2 1 1 n |CD | n ( 4n 1)( n 1) n ) 2 (4 )(1 n n 评述 :本题属于解析几何与数列极限的综合题 .要求极限，需先求 2 | AB 2| ,这就要求掌握求弦长的方法 . |CD | 【例】 若数列 {} 的首项为 ,且对任意∈ * 与恰为方程