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数字信号处理知识点归纳整理 数字信号处理知识点归纳整理 第一章 时域离散随机信号的分析 1.1. 引言 实际信号的四种形式 : 连续随机信号、时域离散随机信号、幅度离散随机信号和离散随 机序列。 本书讨论的是离散随机序列 ()X n , 即幅度和时域都是离散的情况。随机信号相比随机变量多 了时 间因素 , 时间固定即为随机变量。随机序列就是随时间 n 变化的随 机变量序列。 1.2. 时域离散随机信号的统计描述 1.2.1 概率描述 概率分布函数 ( 离散情况 ) 随机变量 n X , 概 率 分 布 函数 : ()()n X n n n F x ,n P X x =≤ (1) 概率密度函数 ( 连续情况 ) 若 n X 连续 , 概率密度函数 : ()()n n X X n n F x,n p x ,n x ? = 1/23 数字信号处理知识点归纳整理 ? (2) 注意 , 以上两个表达式都是在固定时刻 n 讨论 , 因此对于随机序列 而言 , 其概率分布函数和概率密度函数都是关于 n 的函数。 当讨论随机序列时 , 应当用二维及多维统计特性。 ()()()()1 21 21 2,,,1 21122,, ,1 2 ,,,1 2 12,1,,2, ,,,,,,1,,2, ,,,1,,2, ,,N N N x X 2/23 数字信号处理知识点归纳整理 X N N N N x X X N x X X N N F x x x N P X x X x X x F x x x N p x x x N x x x =≤≤≤ ? = ? ? ? 1.2.2 数字特征 1. 数学期望 ()()()()n x x n n m n E x n x n p x ,n dx ∞ - ∞ ==????? (3) 2. 均方值与方差 均方值 : ()()22 n n x n n E X x n p x ,n dx ∞ - ∞ ??=??? (4) 方差 : ()()()222 2x n x n x n E X m n E X m n σ ? ? ? ? =-=- ? ? ? ? (5) 3/23 数字信号处理知识点归纳整理 相关函数和协方差函数自相关函数 :()()n m **n m n m X ,X n m n m r n,m E X X x x p x ,n,x ,m dx dx ∞∞ -∞-∞? ? ==? ? ? ? (6) 自协方差函数 : () ()() ()* *cov ,,n m n m n m n X m X xx X X X X E X m X m r n m m m ? ? =--??? ? =- (7) 由此可进一步推出互相关函数和互协方差函数。 4/23 数字信号处理知识点归纳整理 1.2.3 平稳随机序列 严平稳 :N 维概率密度函数或分布函数与时间 n 起始位置无关。 宽平稳 : 均值、方差和均方值与时间无关 ; 二维概率密度函数、自相关函数和自协方差函数与时间间 ... 隔. 有关。 严平稳可以推出宽平稳的条件 , 反过来不成立。 对于两个 随机序列则要求各自平稳且联合平稳。 其相关函数满足 : () ()*xy yx r m r m =-,()()* xx xx r m r m =- (8) ()0xy r m = 表示互为正交 ,()()0cov xy x y xy r m m m m = ? = 表示互不相关。 实平稳 ... 随机序列相关函数、协方差函数的性质 : (1) 自相关函数和自协 方差函数是偶函数 ()()()()()()()() ,cov cov ,cov cov xx xx xx xx xy yx xy yx r m r m m m r m r m m m =-=-=-=- (9) (2) 0m =, 自相关变为均方值 ()2 5/23 数字信号处理知识点归纳整理 0xx n r E X ? ? =? ? (10) (3) m →∞ , 自相关变为均值的平方 , 即随着时间间隔增大 , 序列内部相 关性愈来愈若 ()()2 lim ,lim xx x xy x y m m r m m r m m m →∞ →∞ == (11) (4) 0m =, 协方差变为方差 ()()()220cov ,cov xx xx x xx x m r m m σ=-= (12) 1.2.4 平稳随机序列功率谱密度 由 1.2.3 性质 (3) 知,m →∞时 ,()2 xx x r m m →, 若 0x m = 则()xx r m 收敛 , 即平稳随机序列均值为 0, 自相关函数收敛 , 存在 Z 变换 , 其收敛域包含单位圆 , 傅里叶变换存在。 ()()()()() ()()()