经典力学的哈密顿理论之5.docx

For personal use only in study and research; not for commercial use 芆泊 松括号 一． 二． 蒁 泊松括号： 莈意义：哈密顿正则方程具有许多优点，因此，它在分析力学中占有非常重要的地位，并发展了一些不同的求解方法。 泊松定理 就是其中之一。 蒇设：任何一个物理量： 肅这些物理量有的是随时间变化的，有的是运动积分，不随时间变化，以前我们讨论的中心问题之一是如何寻找循环坐标，即，如何建立运动积分。 薀现在反过来： 对于一个给定的力学体系，如何来判断力学量 f f p , q , t 是否为运动积分。 蝿 因为有了哈密顿量 H ，我们就可以： 腿 H 正则方程 解正则方程 力学体系的力学性质 袄 因此，设想 f f p, q, t 是否为运动积分，一定可以从 f f p , q ,t 与 H 的关系中做出判 断。 薀利用正则方程： 膀得到： 蚇定义泊松括号： 薃所以： 蚀 上式给出了任意一个力学量 f 随时间的变化与哈密顿量之间的关系，我们称上式为 f 的运动方 程。 薁 如果 f 是运动积分，则： 荿 因为当力学体系运动时，由正则变量 p ,q , t 组成的某一函数 f f p , q , t 为一常数，即： 蚆可以反映体系的运动规律，即运动积分。因此： 螀 特别是当 f f p , q 不显含时间时， f 则： 0 t 蚈以前判断一个力学量是否是运动积分： 1） 2） 螆 解出运动方程； 3） 4） 莅 得到正则变量 p , q ; 5） （ 6） 袀带回到函数 f f p, q 中，看 f f p, q 是否与时间 t 有关。 膈 现在可以直接判断 .即从 f 与 H 的关系中直接得到。 蒈例如： 膃若： 膄 上式是 H 为运动积分的条件。 蕿泊松代数 羆 由于 p , q 都是相互独立的，任意一个对另外一个的偏微商都等于零，即： 膆结合上面的公式得： 芄由泊松括号： 羀 令 f q 得： 蚈同理： 羅泊松括号的性质： 莁 莄（ 1） 螄 膆（ 2） 蒈 蒃（ 3） 蒃 袈（ 4） 衿 薃（ 5） 薆 芆（ 6） 芀 蚃（ 7） 芅 肈（ 8） 螃 （ 9） f , g, h g, h, f h, f , g0雅可比恒等式 蚁 蒅 （ 10） f , g p ,q f , g P,Q 在正则变换下，泊松括号保持不变 肄 螃 （ 3）式 f1 f2 , g f1, g f2 , g 的证明： 肂利用泊松括号： 蒁 （ 4）式 f1 f2 , g f1 f2 , g f2 f1, g 的证明： 肆 上式中 f1和 f2 对易！ 膇 （ 5）式 t f , g f , g f , g t t 的证明： 蒂 （ 9）式 f , g, h g, h, f h, f , g 0 的证明： 衿应用泊松括号展开左边三项就可以证明上式。详细证明略。 腿 （ 10）式 f , g p ,q f , g P ,Q 的证明： 芇 f , g p, q 是以 p, q 为正则变量的力学量 f , g 的泊松括号， 袃 做 正 则 变 换 p, q P,Q ， 经 过 变 换 后 得 到 的 力 学 量 f , g 的 泊 松 括 号 仍 然 为 ： f , g p,q f , g P ,Q 。 蚁上式初看起来似乎是理所当然的，但是仔细想起来其中有一个泊松括号非常重要的性质，因为泊松 括号： f g f g 这是对 f , g 对 p, q 求导后所定义的一个新的函数， f , g q q p p 袈前面的研究中，我们知道，正则变换不能保证任意一个函数在变换后都保持不变，例如： 莇  H  *  P, Q, t  H p, q,t  F t 芄 若 f , g 都是运动积分，则 f , g p ,q 也一定是运动积分，这是因为： 聿应用： 蚇得，对于 f , g p ,q 蒆应用雅可比恒等式得： 蚅 若 f , g 都是运动积分，则： df dg 0 所以： d dt dt f , g 0 。 dt 螁 泊松定理：若 f , g 都是运动积分，则 f , g p,q 也一定是运动积分。 蚀例：平面谐振子的角动量的守恒性 蒆角动量： 螂 J 不显含时间，则 由于 因此， J 是否是运动积分则由： H,J 来决定， 讨论： 1） 当 1 2 时，角动量守恒因为： 当 1 2 时，平面馆谐振子在中心势场 V 1 kr 2 中运动，所以角动量守恒。 2 （ 2） 当 1 2 时，角动量不守恒 因为此时势能为： V 例 2．已知一个质点对证明： 则： 令： 则： 因此： 令： 因为： 所以： 同理：  k1 x