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数学是优美的自然科学的皇后 ,数学之美在于其形象、对称、和谐、简洁、严谨、逻辑、秩序---,热爱数学吧,你将拥抱美好,走进智慧------ * 祊河大桥 蒙山大道祊河大桥 沂河大桥 一、自主探究(1) 如图,直线l垂直平分线段AB,分别测量l上的点到两端点A、B的距离,你有什么发现? 用文字语言总结你的发现: 动手操作:把线段AB沿直线对折,验证你发现的结论 试一试:尝试运用三角形全等进行证明。 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。 A B P l C PA=PB 直线 l⊥AB,垂足为C, 且AC=CB. 已知:如图, 点P在MN上. 求证: 证明:∵l⊥AB ∴ ∠ PCA= ∠ PCB=90° 在 ΔPAC和Δ PBC中, AC=BC ∠ PCA= ∠ PCB PC=PC ∴ ΔPAC ≌Δ PBC(SAS) ∴PA=PB 线段垂直平分线的性质: 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 用符号语言表示为: ∵ CA =CB,l⊥AB,P点在l上, ∴ PA =PB. A B P C l 二、尝试运用(1) 1.如图,△ABC中,AD垂直平分边BC,AB=5,那么AC=_________. 2.如图,在ABC中,AB、BC的垂直平分线相交于三角形内一点P, 下列结论中,错误的是( ) A.PA=PB B.PA=PC C.PB=PC D.点P到AB、BC、CA的距离相等 3.如图,在△ABC中,DE是AB的垂直平分线, (1)请写出相等的线段 _________________________; (2)若BC=10cm,AC=6cm,求△ADC的周长. 三、自主探究(2) A B P M N C PA=PB 点P在线段AB的垂直平分线上 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 反过来,如果PA=PB, 那么点P是否在线段AB的垂 直平分线上呢? 已知: PA =PB, 求证:点P 在AB 的垂直平分线上. 猜想:与一条线段两个端点距离相 等的点,在这条线段的垂直平分 线上. P A B 推理论证: P A B C 证明:过点P 作PC⊥AB ,垂足为C. 则∠PCA =∠PCB =90°. 在Rt△PCA 和Rt△PCB 中, ∵ PA =PB,PC =PC, ∴ Rt△PCA ≌Rt△PCB(HL). ∴ AC =BC. 又 PC⊥AB, ∴ 点P 在线段AB 的垂直平分线上. P A B C 用数学符号表示为: ∵ PA =PB, ∴ 点P 在AB 的垂直平分线上. 判定定理:与一条线段两个端点距离相 等的点,在这条线段的垂直平分线上. P A B 四、尝试应用(2) 思考:在刚才判定的证明中,你能再找一些到线段AB 两端点的距离相等的点吗? 能找到多少个到线段AB 两端点距离相等的点?这些点能组成什么几何图形? A B 性质定理:在线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离都相等. 判定定理:与线段两个端点距离相等的点都在线段的垂直平分线上. 线段垂直平分线可以看作是与线段两个端点距离相等的所有点的集合. 问题:过直线l外一点C可以用圆规画弧交直线上两点D,E使CD=CE.反过来,如何用圆规作到线段两端点的距离相等的点呢? 例1、尺规作图.经过已知直线外一点作这条直线的垂线. 已知:直线AB和AB外一点C. 求作:AB的垂线,使它过C点 1.在直线AB的另一侧任取一点K. 2.以C点为圆心,以CK长为半径画弧,交直线AB于点D和E. 3.分别以点D和E为圆心,以大于 DE长为半径画弧,两弧相交于F. 4.作直线CF. 直线C F就是所求的垂线. 例1、尺规作图.经过已知直线外一点作这条直线的垂线. 已知:直线AB和AB外一点C. 作法: A B C K D E F 求作:AB的垂线,使它过C点 数学是优美的自然科学的皇后 ,数学之美在于其形象、对称、和谐、简洁、严谨、逻辑、秩序---,热爱数学吧,你将拥抱美好,走进智慧------ *
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